Предположим, что мы бросаем монету до тех пор, пока не выпадет орёл (О), и что вероятность получения последовательности из решек ( P ), заканчивающейся орлом, задана формулой: ) Докажите, что сумма всех вероятностей равна 1, то есть: Воспользуйтесь

Предположим, что мы бросаем монету до тех пор, пока не выпадет орёл (О), и что вероятность получения последовательности из $m-1$ решек ( P ), заканчивающейся орлом, задана формулой:

$$P_{m}=P(\underbrace{\mathrm{P}, \mathrm{P}, \ldots, \mathrm{P}}_{m-1 \text { раз }}, \mathrm{O})=\frac{1}{m(m+1)} \text { для } m=1,2,3, \ldots$$

\na) Докажите, что сумма всех вероятностей $P_{m}$ равна 1, то есть:

$$P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty} P_{m}=1$$

Воспользуйтесь следующим соотношением:

$$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$$

\nb) Используя соотношение (*), вычислите вероятность события $A_{n}$, определённого как: $A_{n}$ - "монету бросали не более $n$ раз" (т.е. первый орёл выпал при 1-м, или 2-м, $\ldots$ или $n$-м броске). Другими словами, вычислите сумму $P\left(A_{n}\right)=P_{1}+P_{2}+\cdots+P_{n}=\sum_{m=1}^{n} P_{m}$.\nc) Используя результат из пункта b), вычислите $P\left(A_{n}^{\prime}\right)$, где $A_{n}^{\prime}$ является событием, противоположным событию $A_{n}$. $A_{n}^{\prime}$ - "монету бросали более чем $n$ раз" (т.е. первый орёл выпал при $(n+1)$-м броске или позднее).