Условие:
при каких значениях параметра t квадратичная форма x1^2+tx2^2+x3^2-2x1x3+2tx1x2 положительно определена?
Решение:
Рассмотрим квадратичную форму Q(x) = x₁² + t·x₂² + x₃² – 2·x₁x₃ + 2t·x₁x₂ и запишем её в виде xᵀAx, где вектор x = [x₁, x₂, x₃]ᵀ, а матрица A имеет вид: A = [ [1, t, –1], [t, t, 0], [–1, 0, 1] ] Заметим, что A симметричная, что позволяет применять критерий Сильвестра для положительной определённости. Критерий Сильвестра гласит: симметричная матрица A (и, соответственно, квадратичная форма) является положительно определённой тогда и только тогда, когда все её главные миноры (определители ведущих по строкам и столбцам подматриц) строго положительны. Шаг 1. Первый главный мин...