1. Привести к каноническому виду методом Лагранжа следующие квадратнчные формы: a) x{1}2+x{2}{ }2+3 x{3}{ }2+4 x{1} x{2}+2 x{1} x{3}+2 x{2} x3; б) x{1} x{2}+x{1} x{3}+x{2} x{3}+x{1} x{4}+x{2} x{4}+x{3} x{4}; в) x12+5x22-4x32+2x1x2-4x1x1.

24 октября 2025
Высшая математика

Условие:

1. Привести к каноническому виду методом Лагранжа следующие квадратнчные формы:
a) x{1}²+x{2}{ }²+3 x{3}{ }²+4 x{1} x{2}+2 x{1} x{3}+2 x{2} x₃;
б) x{1} x{2}+x{1} x{3}+x{2} x{3}+x{1} x{4}+x{2} x{4}+x{3} x{4};
в) x1²+5x2²-4x3²+2x1x2-4x1x₁.

Решение:

Чтобы привести квадратные формы к каноническому виду методом Лагранжа, мы будем использовать матрицы и собственные значения. Начнем с первой формы. a) Квадратная форма: x{1}2+x{2}2+3 x{3}2+4 x{1} x{2}+2 x{1} x{3}+2 x{2} x3. 1. Запишем квадратную форму в виде матрицы: Q = \begin{pmatrix} 1 2 1 \\ 2 1 1 \\ 1 1 3 \end{pmatrix} 2. Найдем собственные значения матрицы Q. Для этого решим характеристическое уравнение: det(Q - λI) = 0, где I - единичная матрица. \begin{vmatrix} 1 - λ 2 1 \\ 2 1 - λ 1 \\ 1 1 3 - λ \end{vmatrix} = 0 Вычисляем определитель: (1 - λ)((1 - λ)(...