Привести квадратичную форму f(x1, x2, x3)=x1x2+x2x3+x1x3 к каноническому виду методом Лагранжа

Чтобы привести квадратичную форму \( f(x1, x2, x3) = x1 x2 + x2 x3 + x1 x_3 \) к каноническому виду методом Лагранжа, следуем следующим шагам:

Шаг 1: За...

Квадратичная форма может быть представлена в виде: \[ f(x) = \frac{1}{2} x^T A x \] где \( x = \begin{pmatrix} x2 \\ x_3 \end{pmatrix} \), а матрица \( A \) — симметричная матрица, соответствующая данной форме. Для данной формы \( f(x2, x1 x2 x1 x_3 \) мы можем определить матрицу \( A \) следующим образом: \[ A = \begin{pmatrix} 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 \end{pmatrix} \] Теперь найдем собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \). Для этого решим характеристическое уравнение: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] где \( I \) — единичная матрица. Вычисляем определитель: \[ \det\begin{pmatrix} -\lambda \frac{1}{2} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} -\lambda \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \frac{1}{2} -\lambda \end{pmatrix} \] Решив это уравнение, мы получим собственные значения \( \lambda2 = 1, \lambda_3 = -1 \). Теперь найдем собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению. 1. Для \( \lambda_1 = 0 \): \[ A v = 0 \Rightarrow \text{собственный вектор } v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \] 2. Для \( \lambda_2 = 1 \): \[ A v = v \Rightarrow \text{собственный вектор } v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] 3. Для \( \lambda_3 = -1 \): \[ A v = -v \Rightarrow \text{собственный вектор } v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \] Теперь мы можем выразить переменные \( x2, x1, y3 \), которые соответствуют собственным вектором. Пусть: \[ \begin{pmatrix} y2 \\ y1 \\ x3 \end{pmatrix} \] где \( P \) — матрица, составленная из собственных векторов. После преобразования мы получим новую квадратичную форму в каноническом виде: \[ f(y2, y2^2 - \frac{1}{2} y_3^2 \] Таким образом, канонический вид квадратичной формы \( f(x2, x_3) \) будет: \[ f(y2, y2^2 - \frac{1}{2} y_3^2 \] Это и есть канонический вид данной квадратичной формы.