y=(x-1) e^(1-x) проведите полное исследование функции методами дифференциального исчисления и начертите ее график.

Для полного исследования функции \( y = (x-1)e^{1-x} \) с использованием методов дифференциального исчисления, мы пройдем через несколько шагов: определим область определения, найдем производную, и...

Функция \( y = (x-1)e^{1-x} \) определена для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как экспоненциальная функция \( e^{1-x} \) определена для всех действительных чисел. Для нахождения производной используем правило произведения: \[ y = uv + uv \] где \( u = x - 1 \) и \( v = e^{1-x} \). Найдем производные \( u \) и \( v \): - \( u = 1 \) - \( v = e^{1-x} \), тогда \( v = -e^{1-x} \) (по правилу цепочки). Теперь подставим в формулу: \[ y = (1)e^{1-x} + (x-1)(-e^{1-x}) = e^{1-x} - (x-1)e^{1-x} \] \[ y = e^{1-x}(1 - (x-1)) = e^{1-x}(2 - x) \] Критические точки находятся, когда \( y = 0 \): \[ e^{1-x}(2 - x) = 0 \] Поскольку \( e^{1-x} \neq 0 \) для всех \( x \), то: \[ 2 - x = 0 \implies x = 2 \] Теперь исследуем знак производной \( y \): - Для \( x 2 \): \( 2 - x 0 \) \(\Rightarrow y 0\) (функция возрастает). - Для \( x 2 \): \( 2 - x 0 \) \(\Rightarrow y 0\) (функция убывает). Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, 2) \) и убывает на интервале \( (2, +\infty) \). Точка \( x = 2 \) является максимумом. Теперь найдем значение функции в точке максимума: \[ y(2) = (2-1)e^{1-2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \] Теперь найдем вторую производную \( y \): \[ y = e^{1-x}(2-x) \] Используем правило произведения для нахождения второй производной: \[ y = (e^{1-x}) (2-x) + e^{1-x} (2-x) \] \[ (e^{1-x}) = -e^{1-x} \quad \text{и} \quad (2-x) = -1 \] Подставим: \[ y = -e^{1-x}(2-x) + e^{1-x}(-1) = -e^{1-x}(2-x) - e^{1-x} \] \[ y = -e^{1-x}((2-x) + 1) = -e^{1-x}(3-x) \] Точки перегиба находятся, когда \( y = 0 \): \[ -e^{1-x}(3-x) = 0 \] Поскольку \( e^{1-x} \neq 0 \), то: \[ 3 - x = 0 \implies x = 3 \] - Для \( x 3 \): \( 3 - x 0 \) \(\Rightarrow y 0\) (функция вогнута). - Для \( x 3 \): \( 3 - x 0 \) \(\Rightarrow y 0\) (функция выпуклая). Таким образом, в точке \( x = 3 \) происходит изменение выпуклости. - Функция имеет максимум в точке \( (2, \frac{1}{e}) \). - Функция возрастает на интервале \( (-\infty, 2) \) и убывает на интервале \( (2, +\infty) \). - Функция вогнута на интервале \( (-\infty, 3) \) и выпуклая на интервале \( (3, +\infty) \). Теперь мы можем построить график функции, учитывая все найденные характеристики. График функции будет выглядеть следующим образом: - Максимум в точке \( (2, \frac{1}{e}) \). - Положение точки перегиба в \( x = 3 \). На графике можно отметить: - Точку максимума. - Точку перегиба. - Интервалы возрастания и убывания. Таким образом, мы провели полное исследование функции \( y = (x-1)e^{1-x} \).