Пусть дано множество векторов (1) Доказать, что если среди этих векторов есть нулевой вектор, то линейно зависимы. (2) Пусть какие-то векторов из этого множества линейно зависимы, где \( 1< k

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

$Пусть дано множество векторов (1) Доказать, что если среди этих векторов есть нулевой вектор, то линейно зависимы. (2) Пусть какие-то векторов из этого множества линейно зависимы, где \( 1< k$

Условие:

Пусть дано множество векторов $S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\}$ (1) Доказать, что если среди этих векторов есть нулевой вектор, то $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ линейно зависимы. (2) Пусть какие-то $k$ векторов из этого множества линейно зависимы, где $1< k<n$ . Доказать, что тогда и все векторы $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ линейно зависимы. (3) Допустим что любые $k$ векторов, где $1<k<n$ линейно независимы. Доказать, что тогда и все векторы $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ линейно независимы.

Решение:

Рассмотрим по пунктам.

Пункт (1). Допустим, что среди векторов S присутствует нулевой вектор. То есть, для некоторого индекса j имеем vⱼ = 0. Тогда можно записать линейную комбинацию – например, положим αⱼ = 1, а для всех остальных коэффициентов αᵢ = 0 (i ≠ j). Получим:
α₁·v₁ + … + 1·0 + … + αₙ·vₙ =
0.
При этом не все коэффициенты равны нулю (конкретно, αⱼ = 1 ≠ 0), что по определению означает, что система векторов линейно зависима.

Пункт (2). Пусть некоторое k-векторное подмножество S, где 1 < k < n, линейно зависимо. Это значит, что...