Пусть даны точки Рассмотрим функцию где расстояние берётся в евклидовой метрике. Возьмем точку и сделаем один шаг градиентного спуска: . При каком из указанных значений величина будет минимальна?

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Условие:

Пусть даны точки $

\begin{array}{l} \mathbf{a}_{1}=(0,0) \\ \mathbf{a}_{2}=(1,2) \\ \mathbf{a}_{3}=(-4,1) \end{array}

Рассмотрим функцию $f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}$

f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{3}\left|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\right|,

где расстояние берётся в евклидовой метрике. Возьмем точку $\mathbf{x}_{0}=(3,4)$ и сделаем один шаг градиентного спуска:

\mathbf{x}_{\lambda}=\mathbf{x}_{0}-\lambda \nabla f\left(\mathbf{x}_{0}\right)

. При каком из указанных значений

\lambda

величина

f\left(\mathbf{x}_{\lambda}\right)

будет минимальна?

Решение:

Решение задачи

1. Дано

Даны три точки в $\mathbb{R}^2$ :

\mathbf{a}_{1}=(0,0), \quad \mathbf{a}_{2}=(1,2), \quad \mathbf{a}_{3}=(-4,1)

Функция, которую мы минимизируем (сумма расстояний):

\nf(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{3}\left|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\right| = |\mathbf{x}-\mathbf{a}_{1}| + |\mathbf{x}-\mathbf{a}_{2}| + |\mathbf{x}-\mathbf{a}_{3}|

Начальная точка:

\mathbf{x}_{0}=(3,4)

Шаг градиентного спуска:

\mathbf{x}_{\lambda}=\mathbf{x}_{0}-\lambda \nabla f\left(\mathbf{x}_{0}\right)

2. Найти

Найти значение параметра $\lambda > 0$ , при котором функция $f(\mathbf{x}_{\lambda})$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для оптимального размера шага $\lambda$ в одномерном поиске (line search) при градиентном спуске, чтобы функция $f(\mathbf{x}_\lambda)$ была минимальна?

Градиент функции в новой точке (\mathbf{x}_\lambda) должен быть равен нулю.

Градиент функции в новой точке (\mathbf{x}_\lambda) должен быть ортогонален направлению спуска (\nabla f(\mathbf{x}_0)).

Значение функции (f(\mathbf{x}_\lambda)) должно быть равно значению функции (f(\mathbf{x}_0)).