северный полюс обозначен через N. Каждой точке А сферы Римана сопоставим точку А пересечения луча NA с плоскостью. Это отображение и называется стереографической проекцией. Найти функцию f явно. Где А(x,y,z),а f(A)=(u1,u2). Реши с рисунком, пожалуйста.

Чтобы найти функцию стереографической проекции \( f \) из точки \( A(x, y, z) \) на плоскость, давайте...

Предположим, что мы работаем с единичной сферой, где северный полюс \( N \) находится в точке \( (0, 0, 1) \), а плоскость, на которую мы проецируем, — это плоскость \( z = 0 \). Точка \( A \) на сфере может быть представлена в виде координат \( (x, y, z) \), где \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \). Луч, проходящий через точки \( N(0, 0, 1) \) и \( A(x, y, z) \), можно описать параметрически. Если \( t \) — параметр, то координаты точки на луче могут быть записаны как: \[ X(t) = (1 - t) \cdot 0 + t \cdot x = tx, \] \[ Y(t) = (1 - t) \cdot 0 + t \cdot y = ty, \] \[ Z(t) = (1 - t) \cdot 1 + t \cdot z = 1 - t + tz = 1 - t + tz. \] Чтобы найти точку пересечения луча с плоскостью \( z = 0 \), мы приравниваем \( Z(t) \) к нулю: \[ 1 - t + tz = 0. \] Решим это уравнение относительно \( t \): \[ t(z - 1) = -1 \implies t = \frac{1}{1 - z}. \] Теперь подставим найденное значение \( t \) в уравнения для \( X(t) \) и \( Y(t) \): \[ u_1 = X\left(\frac{1}{1 - z}\right) = \frac{x}{1 - z}, \] \[ u_2 = Y\left(\frac{1}{1 - z}\right) = \frac{y}{1 - z}. \] Таким образом, функция стереографической проекции \( f \) может быть записана как: \[ f(A) = \left( \frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z} \right). \] На рисунке можно изобразить: 1. Сферу с северным полюсом \( N(0, 0, 1) \). 2. Точку \( A(x, y, z) \) на сфере. 3. Луч, проходящий через \( N \) и \( A \). 4. Плоскость \( z = 0 \) и точку пересечения луча с этой плоскостью, которая будет \( (u2) \). Мы нашли явную функцию стереографической проекции \( f(A) = \left( \frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z} \right) \).