Пусть в прямоугольной декартовой системе координат заданы 4 вектора 1 = (1, 1, 1, 1)T , a2 = (−2, 1, 0, 3)T , a3 = (3, 6, 5, 8)T , a4 = (−5, −2, −3, 0)T . (a) Найти какой-нибудь базис пространства L1 =< a1, a2, a3, a4 >. (b) Найти базис пространства L2,

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат заданы 4 вектора 1 = (1, 1, 1, 1)T , a2 = (−2, 1, 0, 3)T , a3 = (3, 6, 5, 8)T , a4 = (−5, −2, −3, 0)T . (a) Найти какой-нибудь базис пространства L1 =< a1, a2, a3, a4 >. (b) Найти базис пространства L2,

Условие:

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат заданы 4 вектора
\na1 = (1, 1, 1, 1)T

, a2 = (−2, 1, 0, 3)T

, a3 = (3, 6, 5, 8)T

, a4 = (−5, −2, −3, 0)T
.

(a) Найти какой-нибудь базис пространства L1 =< a1, a2, a3, a4 >.
(b) Найти базис пространства L2, ортогонального пространству L1. (на лекциях такое L2 называли –
ортогональным дополнением).
(c) Разложить вектор b = (1, 0, −1, 0)T по базису пространства L1 ∪ L2.

Решение:

1. Дано

Заданы четыре вектора в $\mathbb{R}^4$ : $ \mathbf{a}_1 =

\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}

$ Задано линейное подпространство $L_1 = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 \rangle$ . Задан вектор $\mathbf{b} =

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

2. Найти

(a) Базис пространства $L_1$ . (b) Базис пространства $L_2$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для нахождения базиса пространства $L_1$, заданного как линейная оболочка векторов?

Приведение матрицы, составленной из векторов, к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Вычисление определителя матрицы, составленной из векторов, и выбор векторов, соответствующих ненулевым столбцам.

Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы, составленной из векторов.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Базис линейной оболочки векторов находится приведением матрицы, составленной из этих векторов (как строк или столбцов), к ступенчатому виду. Ненулевые строки (или столбцы с ведущими элементами) образуют базис.
Ортогональное дополнение $L^\perp$ к подпространству $L$ состоит из всех векторов, ортогональных каждому вектору из $L$ . Если $L$ задано базисными векторами, то $L^\perp$ — это множество векторов, ортогональных каждому базисному вектору $L$ .
Для нахождения базиса ортогонального дополнения $L^\perp$ к пространству $L$ , заданному базисом $\{v_1, ..., v_k\}$ , необходимо решить однородную систему линейных уравнений $v_i \cdot x = 0$ для каждого $i$ . Решения этой системы образуют $L^\perp$ .
Если $L$ является подпространством $\mathbb{R}^n$ , то $\dim(L) + \dim(L^\perp) = n$ . Это означает, что объединение базисов $L$ и $L^\perp$ образует базис всего пространства $\mathbb{R}^n$ .
Разложение вектора по базису $L_1 \cup L_2$ (где $L_1$ и $L_2$ — ортогональные дополнения) эквивалентно нахождению его ортогональных проекций на $L_1$ и $L_2$ . Проекция $p$ вектора $b$ на подпространство $L$ находится из условия, что $b-p$ ортогонален $L$ .