Пусть - выборка из распределения с плотностью , где . Найти асимптотически нормальную оценку параметра и ее асимптотическую дисперсию.

Рассмотрим выборку X₁, …, Xₙ с плотностью p(x) = θ²·x·e^(–θx) для x > 0, где θ > 0. Для получения асимптотически нормальной оценки параметра θ находим сначала оценку максимального правдоподобия (ОМП), а затем вычисляем асимптотическую дисперсию.

Шаг 1. Пишем функцию правдоподобия
Определим функцию правдоподобия для независимых наблюдений:
  L(θ; x₁, …, xₙ) = ∏[θ²·xᵢ·e^(–θxᵢ)] = θ^(2n) ∏ xᵢ · e^(–θΣxᵢ).

Шаг 2. Записываем логарифмическую функцию правдоподобия
Берём натуральный логарифм от L(θ):
  l(θ) = ln L(θ) = 2n ln θ +...