Пусть - множество функций, определенных на всей вещественной прямой, каждая из которых равна нулю вне конечного интервала. Введем норму, полагая = _ - — задача №523080

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 22.10.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Функциональный анализ
#Теория функций действительного переменного

Пусть - множество функций, определенных на всей вещественной прямой, каждая из которых равна нулю вне конечного интервала. Введем норму, полагая = _ - — задача №523080

Условие:

Пусть $X$ - множество функций $f(x)$ , определенных на всей вещественной прямой, каждая из которых равна нулю вне конечного интервала. Введем норму, полагая $\|f\|=\max _{-\infty<x<+\infty}|f(x)|$ . Будет ли пространство $X$ банаховым?

Решение:

Шаг 1. Напомним определение полноты. Пространство называется банаховым, если каждая последовательность Коши (согласно данной норме) имеет предел, принадлежащий этому пространству.

Шаг 2. Проанализируем X. Каждый элемент X – это функция, которая принимает ненулевые значения только на некотором конечном отрезке ℝ, а вне этого отрезка равна нулю. Однако разные функции могут иметь носители, зависящие от функции (то есть носитель может "разрастаться" при изменении функции).

Шаг 3. Рассмотрим последовательность функций, элементами которой являются функции с ком...