Рассмотрим функцию , где — комплексное, а — натуральное число. Рассмотрим её логарифмическую производную — чему будут равны её вычеты?

Добавлена: 04.08.2026
Обновлена: 04.08.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Рассмотрим функцию , где — комплексное, а — натуральное число. Рассмотрим её логарифмическую производную — чему будут равны её вычеты?

Условие:

Рассмотрим функцию (a(z, N) = \text{Sin}(\text{Pi} \cdot z) + \text{Sin}(\text{Pi} \cdot N/z)), где (z) — комплексное, а (N) — натуральное число. Рассмотрим её логарифмическую производную (L(z, N) = a'(z, N) / a(z, N)) — чему будут равны её вычеты?

Решение:

Дано

Функция:

a(z, N) = \sin(\pi z) + \sin\left(\frac{\pi N}{z}\right)

где

z \in \mathbb{C}

N \in \mathbb{N}

Логарифмическая производная:

L(z, N) = \frac{a'(z, N)}{a(z, N)}

Найти

Вычеты функции $L(z, N)$ в её особых точках.

Решение

Согласно теории функций комплексного переменного, если функция $f(z)$ аналитична в окрестности точки $z_0$ , то вычет её логарифмической производной $\frac{f'(z)}{f(z)}$ в этой точке равен:

$\text{Res}_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)} = k$ , если $z_0$ является нулем функции $f(z)$ кратности $k$ .
$\text{Res}_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)} = -m$ ...