Рассмотрим отображение , которое определяется формулой: Найти Якобиан отображения в точке .

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 12.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

Рассмотрим отображение , которое определяется формулой: Найти Якобиан отображения в точке .

Условие:

Рассмотрим отображение $\Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ , которое определяется формулой: $ \Phi\left(

\begin{array}{l}\nx \\ y \\ z \end{array}

\begin{array}{l}\nx \\ y \\ z \end{array}

Найти Якобиан отображения $\Phi$ в точке $M\left(\frac{3}{13}, 0, \frac{4}{13}\right)$ .

Решение:

Для нахождения Якобиана отображения $\Phi$ в точке $M\left(\frac{3}{13}, 0, \frac{4}{13}\right)$ , сначала запишем явное выражение для отображения:

\Phi\left( \begin{array}{l}\nx \\ y \\ z \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2}} \left( \begin{array}{l}\nx \\ y \\ z \end{array}\right).

Обозначим $k = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2}}$ . Тогда:

\Phi(x, y, z) = \left(kx, ky, kz\right).

Теперь найдем частные производные для вычисления Якобиана. Якобиан $J$ определяется как матрица, состоящая из частных производных:

J = \begin{pmatrix} \frac{\partial \Phi_1}{\partial x} & \frac{\partial \Phi_1}{\partial y} & \frac{\partial \Phi_1}{\partial z} \\ \frac{\partial \Phi_2}{\partial x} & \frac{\partial \Phi_2}{\partial y} & \frac{\partial \Phi_2}{\partial z} \\ \frac{\partial \Phi_3}{\partial x} & \frac{\partial \Phi_3}{\partial y} & \frac{\partial \Phi_3}{\partial z} \end{pmatrix}.

Где $\Phi_1 = kx$ , $\Phi_2 = ky$ , $\Phi_3 = kz$ .

Теперь найдем частные производные:

Для $\Phi_1 = kx$ :
$\frac{\partial \Phi_1}{\partial x} = \frac{\partial k}{\partial x} x + k,$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство отображения $\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2}}(x, y, z)$ делает вычисление его якобиана в точке $M(\frac{3}{13}, 0, \frac{4}{13})$ значительно проще?

Отображение является линейным преобразованием.

Отображение является радиальным, и точка лежит на одной из координатных осей.

Отображение является радиальным, и в заданной точке $y=0$ , что упрощает вычисление частных производных.