Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти область сходимости полученного ряда.

Условие:

Разложить функцию $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right) \cdot \ln x$ в ряд Тейлора по степеням $(x-1)$ и найти область сходимости полученного ряда.

Решение:

Чтобы разложить функцию $f(x) = (x^2 - 2x + 1) \cdot \ln x$ в ряд Тейлора по степеням $(x-1)$ , сначала упростим выражение.

Упрощение функции: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ . Таким образом, функция может быть переписана как: $f(x) = (x-1)^2 \cdot \ln x$ .
Теперь найдем производные функции $f(x)$ в точке $x = 1$ для разложения в ряд Тейлора. Начнем с вычисления $f(1)$ : $f(1) = (1-1)^2 \cdot \ln 1 = 0 \cdot 0 = 0$ .
Вычислим первую производную $f'(x)$ : $f'(x) = 2(x-1) \ln x + (x-1)^2 \cdot \frac{1}{x}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих шагов является ключевым для упрощения функции $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right) \cdot \ln x$ перед разложением в ряд Тейлора по степеням $(x-1)$?

Вычисление первых нескольких производных функции в точке $x=1$ .

Представление множителя $(x^2 - 2x + 1)$ в виде $(x-1)^2$ .