1.Разложить в ряд Фурье данную функцию на периоде [0;2] продолжить ее периодически с периодомT=2 на всю числовую ось. Построить АЧС. f(x)=≤ft{egin{array}{l} 10, ext { если } x ∈(0 ; 1) \ 5, ext { если } x ∈(1 ; 2) end{array} ight.

Чтобы разложить функцию \( f(x) \) в ряд Фурье на периоде \( [0; 2] \) и построить амплитудно-частотную характеристику (АЧС), следуем следующим шагам.

Шаг 1: Определение коэффициентов Фурье

Функция \( f(x) \) задана на интервале \( [0; 2] \) и периодически продолжается с периодом \( T = 2 \). Для разложения в ряд Фурье нам нужно найти коэффициенты \( a0 \), \( an \) и \( b_n \).

1.1. Вычисление \( a_0 \)

Коэффициент \( a_0 \) вычисляется по формуле:
\[
a0 = \frac{1}{T} \...0^T f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 f(x) \, dx \] Разделим интеграл на два интервала: \[ \int0^1 10 \, dx + \int_1^2 5 \, dx \] Вычислим каждый интеграл: \[ \int_0^1 10 \, dx = 10 \cdot (1 - 0) = 10 \] \[ \int_1^2 5 \, dx = 5 \cdot (2 - 1) = 5 \] Теперь подставим в формулу для \( a_0 \): \[ \int_0^2 f(x) \, dx = 10 + 5 = 15 \] \[ a_0 = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5 \] Коэффициенты \( a_n \) вычисляются по формуле: \[ a0^T f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{T}\right) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 f(x) \cos(n \pi x) \, dx \] Разделим интеграл на два интервала: \[ a0^1 10 \cos(n \pi x) \, dx + \int_1^2 5 \cos(n \pi x) \, dx \right) \] Вычислим каждый интеграл: \[ \int0^1 = 10 \cdot \frac{\sin(n \pi)}{n \pi} - 10 \cdot \frac{\sin(0)}{n \pi} = 0 \] (так как \( \sin(n \pi) = 0 \)) Теперь для второго интеграла: \[ \int1^2 = 5 \left( \frac{\sin(2n \pi)}{n \pi} - \frac{\sin(n \pi)}{n \pi} \right) = 0 \] Таким образом, \( a_n = 0 \) для всех \( n \). Коэффициенты \( b_n \) вычисляются по формуле: \[ b0^T f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{T}\right) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 f(x) \sin(n \pi x) \, dx \] Разделим интеграл на два интервала: \[ b0^1 10 \sin(n \pi x) \, dx + \int_1^2 5 \sin(n \pi x) \, dx \right) \] Вычислим первый интеграл: \[ \int0^1 = 10 \left( -\frac{\cos(n \pi)}{n \pi} + \frac{1}{n \pi} \right) = \frac{10}{n \pi} (1 - (-1)^n) \] Теперь для второго интеграла: \[ \int1^2 = 5 \left( -\frac{\cos(2n \pi)}{n \pi} + \frac{\cos(n \pi)}{n \pi} \right) = \frac{5}{n \pi} ((-1)^n - 1) \] Теперь подставим оба результата в формулу для \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{2} \left( \frac{10}{n \pi} (1 - (-1)^n) + \frac{5}{n \pi} ((-1)^n - 1) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{n \pi} \left( 2(1 - (-1)^n) \right) = \frac{5(1 - (-1)^n)}{n \pi} \] Таким образом, мы получили: \[ an = 0, \quad b_n = \frac{5(1 - (-1)^n)}{n \pi} \] Теперь мы можем записать ряд Фурье для функции \( f(x) \): \[ f(x) = a{n=1}^{\infty} \left( an \sin(n \pi x) \right) \] Подставляя найденные значения: \[ f(x) = 7.5 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(1 - (-1)^n)}{n \pi} \sin(n \pi x) \] АЧС (амплитудно-частотная характеристика) определяется по коэффициентам \( b_n \): \[ |B_n| = \left| \frac{5(1 - (-1)^n)}{n \pi} \right| \] Таким образом, АЧС будет иметь ненулевые значения только для нечетных \( n \): \[ |B_n| = \begin{cases} 0, n \text{ четное} \\ \frac{10}{n \pi}, n \text{ нечетное} \end{cases} \] Мы разложили функцию \( f(x) \) в ряд Фурье и нашли амплитудно-частотную характеристику.