Условие:
1. Решить графическим методом
\begin{array}{l}f(x)=2x1+5x2\longrightarrow{}\min\ x1+x2>=5\ x1+2x2<=14\ 2x1+x2<=14\ x1,x2>=0\end{array}
Решение:
Для решения задачи линейного программирования графическим методом, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Построение ограничений
1. Первое ограничение: \( x1 + x2 \geq 5 \)
- Это неравенство можно переписать в виде \( x2 \geq 5 - x1 \).
- Графически это прямая, которая проходит через точки (5, 0) и (0, 5) и находится выше этой прямой.
2. Второе ограничение: \( x1 + 2x2 \leq 14 \)
- Переписываем как \( x2 \leq 7 -...1 \). - Графически это прямая, проходящая через точки (14, 0) и (0, 7) и находится ниже этой прямой. 3. \( 2x2 \leq 14 \) - Переписываем как \( x1 \). - Графически это прямая, проходящая через точки (7, 0) и (0, 14) и находится ниже этой прямой. 4. \( x2 \geq 0 \) - Это ограничение определяет, что мы работаем только в первой четверти. На координатной плоскости строим все три прямые, соответствующие ограничениям, и определяем область допустимых решений: - Для первого ограничения (где \( x2 = 5 \)) рисуем прямую и затем закрашиваем область выше этой прямой. - Для второго ограничения (где \( x2 = 14 \)) рисуем прямую и закрашиваем область ниже этой прямой. - Для третьего ограничения (где \( 2x2 = 14 \)) рисуем прямую и закрашиваем область ниже этой прямой. Область допустимых решений будет находиться в первой четверти и будет ограничена всеми тремя прямыми. Находим точки пересечения этих прямых: 1. Пересечение первой и второй прямой: \[ \begin{cases} x2 = 5 \\ x2 = 14 \end{cases} \] Решая систему, получаем: \[ x2 = 5 \implies x1 \] Подставляем во второе уравнение: \[ x1) = 14 \implies x1 = 14 \implies -x1 = -4 \text{ (не подходит)} \] 2. Пересечение первой и третьей прямой: \[ \begin{cases} x2 = 5 \\ 2x2 = 14 \end{cases} \] Выразим \( x_2 \) из первого уравнения: \[ x1 \] Подставляем во второе уравнение: \[ 2x1) = 14 \implies 2x1 = 14 \implies x_1 = 9 \text{ (не подходит)} \] 3. Пересечение второй и третьей прямой: \[ \begin{cases} x2 = 14 \\ 2x2 = 14 \end{cases} \] Выразим \( x_2 \) из первого уравнения: \[ x1}{2} \] Подставляем во второе уравнение: \[ 2x1}{2} = 14 \implies 4x1 = 28 \implies 3x1 = \frac{14}{3}, x_2 = \frac{14 - \frac{14}{3}}{2} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] Теперь находим значения целевой функции \( f(x2) = 2x2 \) в угловых точках области допустимых решений: 1. Точка (0, 7): \[ f(0, 7) = 2(0) + 5(7) = 35 \] 2. Точка (7, 0): \[ f(7, 0) = 2(7) + 5(0) = 14 \] 3. Точка \( \left(\frac{14}{3}, \frac{7}{3}\right) \): \[ f\left(\frac{14}{3}, \frac{7}{3}\right) = 2\left(\frac{14}{3}\right) + 5\left(\frac{7}{3}\right) = \frac{28}{3} + \frac{35}{3} = \frac{63}{3} = 21 \] Сравниваем значения функции в угловых точках: - \( f(0, 7) = 35 \) - \( f(7, 0) = 14 \) - \( f\left(\frac{14}{3}, \frac{7}{3}\right) = 21 \) Минимальное значение функции достигается в точке (7, 0) и равно 14. Минимальное значение функции \( f(x2) = 2x2 \) равно 14 при \( x2 = 0 \).