Решить методом Гаусса систему ≤ft.egin{array}{c} 2 x{1}-3 x{2}-4 x{3}+5 x{4}=-13 ; \ 4 x{1}-6 x{2}+x{3}-x{4}=14 \ 6 x{1}-9 x{2}+x{3}+2 x{4}=13 \ 2 x{1}-3 x{2}-2 x{3}-4 x{4}=9 end{array} ight} .

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, сначала запишем систему в виде расширенной матрицы:

\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \\ 4 -6 1 -1 | 14 \\ 6 -9 1 2 | 13 \\ 2 -3 -2 ...</p> 1. Умножим первую строку на \(2\) и вычтем её из второй строки:

R2 - 2R_1

$$$$

4 - 4 = 0, \quad -6 + 6 = 0, \quad 1 + 8 = 9, \quad -1 - 10 = -11, \quad 14 + 26 = 40

$$Получаем:$$

\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \ 0 0 9 -11 | 40 \ 6 -9 1 2 | 13 \ 2 -3 -2 -4 | 9 \end{pmatrix} $

2. Умножим первую строку на (3) и вычтем её из третьей строки:

   $$R3 - 3R_1$$
   $$6 - 6 = 0, \quad -9 + 9 = 0, \quad 1 + 12 = 13, \quad 2 - 15 = -13, \quad 13 + 39 = 52$$
   Получаем:
   $$\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \\ 0 0 9 -11 | 40 \\ 0 0 13 -13 | 52 \\ 2 -3 -2 -4 | 9 \end{pmatrix}$$

3. Умножим первую строку на (1) и вычтем её из четвёртой строки:

   $$R4 - R_1$$
   $$2 - 2 = 0, \quad -3 + 3 = 0, \quad -2 + 4 = 2, \quad -4 - 5 = -9, \quad 9 + 13 = 22$$
   Получаем:
   $$\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \\ 0 0 9 -11 | 40 \\ 0 0 13 -13 | 52 \\ 0 0 2 -9 | 22 \end{pmatrix}$$

Теперь будем работать со строками 2, 3 и 4.

1. Умножим вторую строку на (\frac{1}{9}):

   $$R2$$
   Получаем:
   $$\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \\ 0 0 1 -\frac{11}{9} | \frac{40}{9} \\ 0 0 13 -13 | 52 \\ 0 0 2 -9 | 22 \end{pmatrix}$$

2. Вычтем (13R_2) из третьей строки:

   $$R3 - 13R_2$$
   Получаем:
   $$0, \quad 0, \quad 0, \quad -13 + \frac{143}{9} = \frac{-117 + 143}{9} = \frac{26}{9}, \quad 52 - \frac{520}{9} = \frac{468 - 520}{9} = \frac{-52}{9}$$
   Получаем:
   $$\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \\ 0 0 1 -\frac{11}{9} | \frac{40}{9} \\ 0 0 0 \frac{26}{9} | \frac{-52}{9} \\ 0 0 2 -9 | 22 \end{pmatrix}$$

3. Вычтем (2R_2) из четвёртой строки:

   $$R4 - 2R_2$$
   Получаем:
   $$0, \quad 0, \quad 0, \quad -9 + \frac{22}{9} = \frac{-81 + 22}{9} = \frac{-59}{9}, \quad 22 - \frac{80}{9} = \frac{198 - 80}{9} = \frac{118}{9}$$
   Получаем:
   $$\begin{pmatrix} 2 -3 -4 5 | -13 \\ 0 0 1 -\frac{11}{9} | \frac{40}{9} \\ 0 0 0 \frac{26}{9} | \frac{-52}{9} \\ 0 0 0 \frac{-59}{9} | \frac{118}{9} \end{pmatrix}$$

Теперь, когда мы привели матрицу к верхнему треугольному виду, можем начать обратную подстановку.

1. Из четвёртой строки:

   $$\frac{-59}{9} x4 = -2$$

2. Подставим (x_4) в третью строку:

   $$0 = 0 \quad \text{(т.е. третья строка не дает новой информации)}$$

3. Подставим (x_4) в вторую строку:

   $$x3 + \frac{22}{9} = \frac{40}{9} \implies x_3 = \frac{40}{9} - \frac{22}{9} = \frac{18}{9} = 2$$

4. Подставим (x4) в первую строку:

   $$2x2 - 4(2) + 5(-2) = -13$$
   $$2x2 - 8 - 10 = -13 \implies 2x2 - 18 = -13 \implies 2x2 = 5$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} 2x2 = 5 \\ x_3 = 2 \\ x_4 = -2 \end{cases}$$

5. Выразим (x2):
   x2}{2}

Таким образом, мы получили решение системы:

\begin{cases} x2}{2} \\ x_2 = t \quad (где \, t \, \text{любое число}) \\ x_3 = 2 \\ x_4 = -2 \end{cases}

Где (x_2) является свободной переменной.