5) ( left{egin{array}{l}64^{2 x}+64^{2 y}=12, \ 64^{x+y}=4 sqrt{2} ;end{array} ight. )

Давайте решим систему уравнений:

\left\{\begin{array}{l} 64^{2x} + 64^{2y} = 12, \\ 64^{x+y} = 4 \sqrt{2}. \end{array}\r...</p> Первое уравнение можно переписать, используя свойства степеней. Заметим, что \(64 = 2^6\), тогда:

64^{2x} = (2^6)^{2x} = 2^{12x}, \quad 64^{2y} = (2^6)^{2y} = 2^{12y}. $

Таким образом, первое уравнение становится:

$$2^{12x} + 2^{12y} = 12.$$

Во втором уравнении:

$$64^{x+y} = (2^6)^{x+y} = 2^{6(x+y)}.$$

Таким образом, второе уравнение становится:

$$2^{6(x+y)} = 4\sqrt{2}.$$

Запишем (4\sqrt{2}) в виде степени двойки:

$$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2}.$$

Теперь у нас есть:

$$2^{6(x+y)} = 2^{5/2}.$$

Приравняем показатели:

$$6(x+y) = \frac{5}{2}.$$

Отсюда:

$$x+y = \frac{5}{12}.$$

Теперь выразим (y) через (x):

$$y = \frac{5}{12} - x.$$

Теперь подставим (y) в первое уравнение:

$$2^{12x} + 2^{12\left(\frac{5}{12} - x\right)} = 12.$$

Упростим вторую часть:

$$12\left(\frac{5}{12} - x\right) = 5 - 12x.$$

Таким образом, первое уравнение становится:

$$2^{12x} + 2^{5 - 12x} = 12.$$

Теперь перепишем уравнение:

$$2^{12x} + \frac{32}{2^{12x}} = 12.$$

Обозначим (z = 2^{12x}), тогда уравнение принимает вид:

$$z + \frac{32}{z} = 12.$$

Умножим обе стороны на (z):

$$z^2 - 12z + 32 = 0.$$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16.$$

Корни уравнения:

$$z = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$z2 = \frac{8}{2} = 4.$$

Теперь вернемся к (z = 2^{12x}):

1. Если (z = 8):

$$2^{12x} = 8 \Rightarrow 12x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{4}.$$

2. Если (z = 4):

$$2^{12x} = 4 \Rightarrow 12x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{6}.$$

Теперь найдем соответствующие значения (y):

1. Для (x = \frac{1}{4}):

$$y = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.$$

2. Для (x = \frac{1}{6}):

$$y = \frac{5}{12} - \frac{1}{6} = \frac{5}{12} - \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$$

Таким образом, у нас есть два решения:

1. $(x, y) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{6}\right)$
2. $(x, y) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{4}\right)$