Решить смешанную задачу о распространении тепла в однородном стержне с источниками: u_t - u_xx = xt(2-t), 0 < x < π, u_x(0, t) = t^2, u_x(π, t) = t^2, u(x, 0) = cos(4x).

Наша цель – найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению   u_t – u_xx = x·t·(2–t), при 0 x π, t 0, с краевыми условиями   u_x(0,t) = t², u_x(π,t) = t², и начальным условием   u(x,0) = cos(4x). Мы будем решать задачу по шагам. ──────────────────────────── Шаг 1. Замена для приведения краевых условий к однородным Заметим, что краевые условия заданы для производной по x. Подберём вспомогательную функцию, зависящую от t и x, такую что её x-производная равна t², независимо от x. Например, положим   w(x,t) = t²·x. Действительно, w_x(x,t) = t², поэтому, если мы запишем решение в виде ...