Домашнее задание по аналитической геометрии на плоскости. Задача. Решить треугольник, вериины которого заданы координатами A≤ft((-1)5~4,4 ight);B(-5,4-4);C(4+5;4-2) т.е. выполнить следующие пункты: 1) Построить треугольник (1 балл) 2) Длины сторон (3

Для решения данной задачи по аналитической геометрии, начнем с определения координат вершин треугольника A, B и C.

Шаг 1: Определение координат вершин

1. Координаты точки A:
$
A\left((-1)^5\mathrm{~4},4\right) = A(-1, 4)
$
(поскольку \((-1)^5 = -1\))

2. Координаты точки B:
$
B(-5, 4-4) = B(-5, 0)
$

3. Координаты точки C:
$
C(4+5, 4-2) = C(9, 2)
$

Теперь у нас есть координаты вершин треугольника:
- $A(-1, 4)$
- $B(-5, 0)$
- $C(9, 2)$

Шаг 2: Построение треугольника

На этом этапе мы можем построить треугольник на координатной плоскости, используя указанные координаты.

Шаг 3: Длины сторон

Для нахождения длин сторон треугольника используем формулу расстояния между двумя точками:
$
d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}
$

1. Длина стороны AB:
$
AB = \sqrt{((-5) - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
$

2. Длина стороны BC:
$
BC = \sqrt{(9 - (-5))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(14)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
$

3. Длина стороны AC:
$
AC = \sqrt{(9 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}
$

Шаг 4: Уравнения сторон

Для нахождения уравнений сторон используем формулу уравнения прямой:
$
y - y1 = m(x - x1)
$
где $m$ — угловой коэффициент, вычисляемый как $m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$.

1. Уравнение стороны AB:
$
m_{AB} = \frac{0 - 4}{-5 - (-1)} = \frac{-4}{-4} = 1
$
Уравнение: $y - 4 = 1(x + 1)$ или $y = x + 5$.

2. Уравн...: $ m_{BC} = \frac{2 - 0}{9 - (-5)} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $ Уравнение: $y - 0 = \frac{1}{7}(x + 5)$ или $y = \frac{1}{7}x + \frac{5}{7}$.

3. :
   $$m_{AC} = \frac{2 - 4}{9 - (-1)} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$
   Уравнение: $y - 4 = -\frac{1}{5}(x + 1)$ или $y = -\frac{1}{5}x + \frac{19}{5}$.

Для нахождения высот треугольника, нужно найти расстояние от вершины до противоположной стороны.

1. (перпендикуляр к BC): Используем формулу расстояния от точки до прямой:

   $$d = \frac{|Ax0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
   Уравнение прямой BC: $-\frac{1}{7}x + y - \frac{5}{7} = 0$ (или $-x + 7y - 5 = 0$). Здесь $A = -1, B = 7, C = -5$. Подставляем координаты A:
   $$d_A = \frac{|-1 \cdot (-1) + 7 \cdot 4 - 5|}{\sqrt{(-1)^2 + 7^2}} = \frac{|1 + 28 - 5|}{\sqrt{1 + 49}} = \frac{24}{\sqrt{50}} = \frac{24}{5\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{5}$$

2. (перпендикуляр к AC): Уравнение прямой AC: $-\frac{1}{5}x + y - \frac{19}{5} = 0$ (или $-x + 5y - 19 = 0$). Здесь $A = -1, B = 5, C = -19$. Подставляем координаты B:

   $$d_B = \frac{|-1 \cdot (-5) + 5 \cdot 0 - 19|}{\sqrt{(-1)^2 + 5^2}} = \frac{|5 - 19|}{\sqrt{1 + 25}} = \frac{14}{\sqrt{26}} = \frac{14\sqrt{26}}{26} = \frac{7\sqrt{26}}{13}$$

3. (перпендикуляр к AB): Уравнение прямой AB: $-x + y - 5 = 0$. Здесь $A = -1, B = 1, C = -5$. Подставляем координаты C:

   $$d_C = \frac{|-1 \cdot 9 + 1 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-9 + 2 - 5|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \left| x2 - y2(y1) + x1 - y_2) \right|$$

Подставляем координаты:

$$S = \frac{1}{2} \left| -1(0 - 2) + (-5)(2 - 4) + 9(4 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| 2 + 10 + 36 \right| = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$$

1. : Угловой коэффициент высоты из A (перпендикуляр к BC):

   $$m = -7$$
   Уравнение: $y - 4 = -7(x + 1)$ или $y = -7x - 3$.

2. : Угловой коэффициент высоты из B (перпендикуляр к AC):

   $$m = 5$$
   Уравнение: $y - 0 = 5(x + 5)$ или $y = 5x + 25$.

3. : Угловой коэффициент высоты из C (перпендикуляр к AB):

   $$m = -1$$
   Уравнение: $y - 2 = -1(x - 9)$ или $y = -x + 11$.

Ортоцентр — это точка пересечения высот. Найдем пересечение высот из A и B:

1. Решаем систему уравнений:
   $$\begin{cases} y = -7x - 3 \\ y = 5x + 25 \end{cases}$$
   Подставляем:
   $$-7x - 3 = 5x + 25 \implies -12x = 28 \implies x = -\frac{7}{6}$$
   Подставляем $x$ в одно из уравнений:
   $$y = 5\left(-\frac{7}{6}\right) + 25 = -\frac{35}{6} + \frac{150}{6} = \frac{115}{6}$$
   Ортоцентр $H\left(-\frac{7}{6}, \frac{115}{6}\right)$.

На этом этапе мы можем построить треугольник, добавив высоты из каждой вершины.

Середины сторон находятся по формуле:

MA + xA + y_B}{2}\right)

1. :

   $$M_{AB} = \left(\frac{-1 + (-5)}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = \left(-3, 2\right)$$

2. :

   $$M_{BC} = \left(\frac{-5 + 9}{2}, \frac{0 + 2}{2}\right) = \left(2, 1\right)$$

3. :

   $$M_{AC} = \left(\frac{-1 + 9}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = \left(4, 3\right)$$

Длину медианы можно найти по формуле:

$$m = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}}$$

1. :

   $$m_A = \sqrt{\frac{2(4\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{26})^2 - (10\sqrt{2})^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 32 + 2 \cdot 104 - 200}{4}} = \sqrt{\frac{64 + 208 - 200}{4}} = \sqrt{16} = 4$$

2. :

   $$m_B = \sqrt{\frac{2(10\sqrt{2})^2 + 2(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{26})^2}{4}} = \sqrt{\frac{200 + 32 - 8}{4}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$

3. :

   $$m_C = \sqrt{\frac{2(2\sqrt{26})^2 + 2(10\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{4}} = \sqrt{\frac{104 + 200 - 32}{4}} = \sqrt{43} = \sqrt{43}$$

4. : Угловой коэффициент медианы из A (к середине BC):

   $$m = \frac{1 - 4}{2 - (-1)} = -1$$
   Уравнение: $y - 4 = -1(x + 1)$ или $y = -x + 3$.

5. : Угловой коэффициент медианы из B (к середине AC):

   $$m = \frac{3 - 0}{4 - (-5)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
   Уравнение: $y - 0 = \frac{1}{3}(x + 5)$ или $y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.

6. : Угловой коэффициент медианы из C (к середине AB):

   $$m = \frac{2 - 3}{2 - (-3)} = -\frac{1}{5}$$
   Уравнение: $y - 2 = -\frac{1}{5}(x - 4)$ или $y = -\frac{1}{5}x + \frac{19}{5}$.

Центр тяжести $G$ находится как среднее арифметическое координат вершин:

$$G\left(\frac{xB + xA + yC}{3}\right) = G\left(\frac{-1 - 5 + 9}{3}, \frac{4 + 0 + 2}{3}\right) = G\left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}\right) = G(1, 2)$$

На этом этапе мы можем построить треугольник, добавив медианы из каждой вершины.

1. : Середина AB: $M_{AB}(-3, 2)$, угловой коэффициент:

   $$m = -1$$
   Уравнение: $y - 2 = 1(x + 3)$ или $y = x + 5$.

2. : Середина BC: $M_{BC}(2, 1)$, угловой коэффициент:

   $$m = -7$$
   Уравнение: $y - 1 = -\frac{1}{7}(x - 2)$ или $y = -\frac{1}{7}x + \frac{9}{7}$.

3. : Середина AC: $M_{AC}(4, 3)$, угловой коэффициент:

   $$m = 5$$
   Уравнение: $y - 3 = 5(x - 4)$ или $y = 5x - 17$.

Центр описанной окружности находится как пересечение серединных перпендикуляров. Решаем систему уравнений для двух перпендикуляров, например, к AB и BC.

Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра до одной из вершин.

На этом этапе мы можем построить треугольник, добавив серединные перпендикуляры из каждой стороны.

Таким образом, мы выполнили все пункты задания.