Решить уравнение y(x)=1+ интеграл (от 0 до x) t y(t) dt .Уравнение Вольтерра 2 рода, через дифференцирование. Подробное решение )

Решим уравнение Вольтерра второго рода:

\[
y(x) = 1 + \int_0^x t y(t) \, dt
\]

Шаг 1: Дифференцировани...

Для начала продифференцируем обе стороны уравнения по \(x\): \[ \frac{dy}{dx} = 0 + \frac{d}{dx} \left( \int_0^x t y(t) \, dt \right) \] Используем теорему о дифференцировании под знаком интеграла (формула Лейбница): \[ \frac{d}{dx} \left( \int_0^x t y(t) \, dt \right) = x y(x) \] Таким образом, у нас получается: \[ \frac{dy}{dx} = x y(x) \] Теперь мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение: \[ \frac{dy}{dx} = x y(x) \] Разделим переменные: \[ \frac{dy}{y} = x \, dx \] Теперь интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{dy}{y} = \int x \, dx \] Слева получаем: \[ \ln |y| = \frac{x^2}{2} + C \] где \(C\) — константа интегрирования. Теперь возведем обе стороны в степень: \[ |y| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C e^{\frac{x^2}{2}} \] Обозначим \(K = e^C\), тогда: \[ y = K e^{\frac{x^2}{2}} \] Теперь нам нужно найти значение константы \(K\). Для этого подставим \(x = 0\) в исходное уравнение: \[ y(0) = 1 + \int_0^0 t y(t) \, dt = 1 \] С другой стороны, подставляя \(x = 0\) в найденное решение: \[ y(0) = K e^{\frac{0^2}{2}} = K \] Таким образом, получаем: \[ K = 1 \] Теперь подставим значение \(K\) обратно в уравнение: \[ y(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \] Таким образом, решение уравнения: \[ y(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \]