6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 4cos'x = 1; 6) 3sin x + sinx - 4 = 0; B) (8x +21gx-3=0; r) 2sin?x - 3cosx = 0;

Давайте решим каждое из уравнений по порядку.

a) \( 4 \...

1. Разделим обе стороны на 4: \[ \cos^2 x = \frac{1}{4} \] 2. Теперь возьмем квадратный корень: \[ \cos x = \pm \frac{1}{2} \] 3. Найдем углы, для которых \(\cos x = \frac{1}{2}\) и \(\cos x = -\frac{1}{2}\): - \(\cos x = \frac{1}{2}\) дает \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) (где \(k\) — целое число). - \(\cos x = -\frac{1}{2}\) дает \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\). 4. Объединим все решения: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] 1. Упростим уравнение: \[ 4 \sin x - 4 = 0 \] 2. Переносим 4 на другую сторону: \[ 4 \sin x = 4 \] 3. Делим обе стороны на 4: \[ \sin x = 1 \] 4. Найдем углы, для которых \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] 1. Перепишем \(8^x\) как \( (2^3)^x = 2^{3x} \): \[ 2^{3x} + 21g x - 3 = 0 \] Это уравнение не является квадратным, и его решение зависит от значения \(g\). Если \(g\) — это константа, то мы можем использовать численные методы для нахождения корней. 1. Используем тождество \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ 2(1 - \cos^2 x) - 3 \cos x = 0 \] 2. Раскроем скобки: \[ 2 - 2 \cos^2 x - 3 \cos x = 0 \] 3. Перепишем уравнение: \[ -2 \cos^2 x - 3 \cos x + 2 = 0 \] 4. Умножим на -1: \[ 2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0 \] 5. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] 6. Найдем корни: \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{4} \] Это дает: \[ \cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \cos x = \frac{-8}{4} = -2 \quad (\text{не имеет смысла}) \] 7. Найдем углы для \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \] - a) \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) - b) \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) - c) Решение зависит от значения \(g\). - d) \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)