Условие:
Решите задачу Коши (3 x-1) d y+y2 d x=0, y(0)=1 :
В ответе укажите значение y(2 / 3).
Решение:
Для решения задачи Коши \( (3 x-1) d y+y^{2} d x=0 \) с начальным условием \( y(0)=1 \), начнем с приведения уравнения к стандартному виду. 1. Перепишем уравнение: \[ (3x - 1) dy + y^2 dx = 0 \] Это можно переписать как: \[ dy = -\frac{y^2}{3x - 1} dx \] 2. Разделим переменные: \[ \frac{dy}{y^2} = -\frac{dx}{3x - 1} \] 3. Интегрируем обе стороны: - Левую сторону: \[ \int \frac{dy}{y^2} = -\frac{1}{y} + C_1 \] - Правую сторону: \[ \int -\frac{dx}{3x - 1} = -\frac{1}{3} \ln |3x - 1| + C_2 \] Объединим константы интегрирования: \[ ...