сделать чертёж и вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями: y=5x-x²+6 и осью Ox

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = 5x - x^2 + 6 \) и осью Ox...

Для этого мы приравняем уравнение к нулю: \[ 5x - x^2 + 6 = 0 \] Перепишем уравнение: \[ -x^2 + 5x + 6 = 0 \] Умножим на -1, чтобы упростить: \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2} \] Таким образом, получаем: \[ x2 = \frac{-2}{2} = -1 \] Мы нашли точки пересечения: \( x = -1 \) и \( x = 6 \). Теперь мы будем интегрировать функцию \( y = 5x - x^2 + 6 \) от \( x = -1 \) до \( x = 6 \). Площадь \( S \) под кривой можно найти с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{-1}^{6} (5x - x^2 + 6) \, dx \] Теперь вычислим интеграл: \[ S = \int (5x - x^2 + 6) \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 6x + C \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ \frac{5(6)^2}{2} - \frac{(6)^3}{3} + 6(6) \right] - \left[ \frac{5(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 6(-1) \right] \] Вычислим каждую часть: 1. Для \( x = 6 \): \[ \frac{5(36)}{2} - \frac{216}{3} + 36 = 90 - 72 + 36 = 54 \] 2. Для \( x = -1 \): \[ \frac{5(1)}{2} - \frac{-1}{3} - 6 = \frac{5}{2} + \frac{1}{3} - 6 \] Приведем к общему знаменателю (6): \[ \frac{15}{6} + \frac{2}{6} - \frac{36}{6} = \frac{15 + 2 - 36}{6} = \frac{-19}{6} \] Теперь подставим значения в формулу для площади: \[ S = 54 - \left( \frac{-19}{6} \right) = 54 + \frac{19}{6} = \frac{324}{6} + \frac{19}{6} = \frac{343}{6} \] Площадь фигуры, ограниченной линией \( y = 5x - x^2 + 6 \) и осью Ox, равна: \[ S = \frac{343}{6} \approx 57.17 \]