Сформулируйте необходимые и достаточные условия того, что 1-форма является дифференциалом некоторой функции. Докажите достаточное условие в звёздной области. Чем отличаются две различных первообразные данной 1-формы в связной области?

6 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

Сформулируйте необходимые и достаточные условия того, что 1-форма является дифференциалом некоторой функции. Докажите достаточное условие в звёздной области. Чем отличаются две различных первообразные данной 1 -формы в связной области?

Решение:

Рассмотрим 1‐форму ω, заданную в области U (например, в ℝ² или ℝⁿ). Задача состоит в следующем: 1. Сформулировать необходимые и достаточные условия того, что ω является дифференциалом некоторой функции f, то есть ω = df. 2. Доказать достаточное условие (то есть, если ω замкнута, то она является дифференциалом некоторой функции) в звёздной области U. 3. Показать, чем отличаются две различные первообразные данной 1‐формы в связной области. Ниже приведён пошаговый вывод и доказательство. ───────────────────────────── Шаг 1. Необходимое и достаточное условие Пусть ω – дифференцируемая 1‐форма...