Условие:
Составить график и уравнение параболы если ее фокус F(5;-3) и уравнение директрисы y+2=0
Решение:
Чтобы составить уравнение параболы, нам нужно использовать информацию о фокусе и директрисе. Давайте разберем ш...
У нас есть фокус \( F(5, -3) \) и уравнение директрисы \( y + 2 = 0 \). Это уравнение можно переписать как \( y = -2 \). Таким образом, координаты директрисы: \( y = -2 \). Вершина параболы находится на середине между фокусом и директрисой. Поскольку фокус находится выше директрисы, парабола будет открыта вверх. Координаты вершины \( V \) можно найти следующим образом: - \( xF = 5 \) (координата x фокуса) - \( yF + y_D}{2} = \frac{-3 + (-2)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5 \) Таким образом, координаты вершины \( V(5, -2.5) \). Парабола открыта вверх, и её уравнение имеет вид: \[ (y - yV)^2 \] где \( k \) — это параметр, который определяет ширину параболы. Параметр \( k \) можно найти, используя расстояние между фокусом и директрисой. Расстояние между фокусом и директрисой равно: \[ d = yD = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1 \] Параметр \( p \) (расстояние от вершины до фокуса) равен половине этого расстояния: \[ p = \frac{d}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \] Так как парабола открыта вверх, \( k = \frac{1}{4p} = \frac{1}{4 \cdot (-0.5)} = -\frac{1}{2} \). Теперь подставим значения в уравнение параболы: \[ y - (-2.5) = -\frac{1}{2}(x - 5)^2 \] Упростим это уравнение: \[ y + 2.5 = -\frac{1}{2}(x - 5)^2 \] \[ y = -\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 2.5 \] Теперь мы можем построить график параболы, используя уравнение: 1. Вершина параболы находится в точке \( (5, -2.5) \). 2. Парабола открыта вверх и имеет форму, заданную уравнением. Уравнение параболы: \[ y = -\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 2.5 \] График параболы будет иметь вершину в точке \( (5, -2.5) \) и будет открываться вверх.