Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .( mathrm{A}(4 ;-6), quad mathrm{B}(6 ; 4 sqrt{ } 6) ).

Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через заданные точки \( A(4, -6) \) и \( B(6, 4\sqrt{6}) \...

Центр эллипса можно найти как середину отрезка, соединяющего точки \( A \) и \( B \). Середина \( M \) определяется по формуле: \[ M\left( \frac{x2}{2}, \frac{y2}{2} \right) \] Подставим координаты точек \( A \) и \( B \): \[ M\left( \frac{4 + 6}{2}, \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} \right) = M\left( 5, \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} \right) \] Теперь нам нужно найти длины полуосей \( a \) и \( b \). Для этого мы можем использовать расстояние между центром \( M \) и точками \( A \) и \( B \). \[ dA - xA - y_M)^2} = \sqrt{(4 - 5)^2 + \left(-6 - \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2}\right)^2} \] Сначала найдем \( y_M \): \[ y_M = \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} = -3 + 2\sqrt{6} \] Теперь подставим это значение в формулу для \( d_A \): \[ d_A = \sqrt{(4 - 5)^2 + \left(-6 - (-3 + 2\sqrt{6})\right)^2} = \sqrt{1 + (-3 - 2\sqrt{6})^2} \] Вычислим \( (-3 - 2\sqrt{6})^2 \): \[ (-3 - 2\sqrt{6})^2 = 9 + 12\sqrt{6} + 24 = 33 + 12\sqrt{6} \] Таким образом, \[ d_A = \sqrt{1 + 33 + 12\sqrt{6}} = \sqrt{34 + 12\sqrt{6}} \] Аналогично, найдем расстояние \( d_B \): \[ d_B = \sqrt{(6 - 5)^2 + \left(4\sqrt{6} - (-3 + 2\sqrt{6})\right)^2} \] Вычислим \( yM \): \[ yM = 4\sqrt{6} - (-3 + 2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} + 3 - 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 3 \] Теперь подставим это в формулу для \( d_B \): \[ d_B = \sqrt{(6 - 5)^2 + (2\sqrt{6} + 3)^2} = \sqrt{1 + (2\sqrt{6} + 3)^2} \] Вычислим \( (2\sqrt{6} + 3)^2 \): \[ (2\sqrt{6} + 3)^2 = 24 + 12\sqrt{6} + 9 = 33 + 12\sqrt{6} \] Таким образом, \[ d_B = \sqrt{1 + 33 + 12\sqrt{6}} = \sqrt{34 + 12\sqrt{6}} \] Теперь, зная центр \( M(5, -3 + 2\sqrt{6}) \) и полуоси \( a \) и \( b \), можем записать уравнение эллипса в канонической форме: \[ \frac{(x - 5)^2}{a^2} + \frac{(y - (-3 + 2\sqrt{6}))^2}{b^2} = 1 \] Где \( a \) и \( b \) равны расстояниям \( dB \). Подставив значения \( a \) и \( b \) в уравнение, получаем каноническое уравнение эллипса: \[ \frac{(x - 5)^2}{34 + 12\sqrt{6}} + \frac{(y + 3 - 2\sqrt{6})^2}{34 + 12\sqrt{6}} = 1 \] Это и есть искомое каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки \( A \) и \( B \).