Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен , а уравнения ее асимптот имеют вид

Добавлена: 09.05.2026
Обновлена: 09.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен , а уравнения ее асимптот имеют вид

Условие:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен $\varepsilon=\frac{5}{4}$ , а уравнения ее асимптот имеют вид $y= \pm \frac{3}{4} x$

Решение:

Определим тип гиперболы. У нас есть уравнения асимптот $y = \pm \frac{3}{4} x$ . Это указывает на то, что гипербола имеет горизонтальные асимптоты, что означает, что уравнение гиперболы будет иметь вид:
$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$
или
$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$
В данном случае, поскольку асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{3}{4} x$ , мы можем предположить, что гипербола имеет центр в начале координат (то есть $h = 0$ и $k = 0$ ).
Найдем соотношение между $a$ и $b$ . Уравнения асим...