Условие:
6) Составить уравнения касательной плоскости и нормали поверхности
3 x2+4 y5 z-2 z3 x y-3 z x6-2=0 \text { в точке } M(1 ; 1 ; 1)
Решение:
Рассмотрим функцию F(x, y, z) = 3x² + 4y⁵z – 2z³xy – 3zx⁶ – 2. Шаг 1. Вычисляем частные производные функции. Частная производная по x: Fₓ = d/dx (3x²) + d/dx (4y⁵z) – d/dx (2z³xy) – d/dx (3zx⁶) – d/dx (2). При этом 4y⁵z и –2z³xy являются функциями линейными по x: - Производная от 3x² равна 6x. - Производная от 4y⁵z по x равна 0 (так как y и z считаются константами). - Производная от –2z³xy равна –2z³y. - Производная от –3zx⁶ равна –3z * 6x⁵ = –18zx⁵. Получаем: Fₓ = 6x – 2z³y – 18zx⁵. Теперь подставим точку M(1, 1, 1): Fₓ(1, 1, 1) = 6·1 – 2·1³·1 – 18·1·1⁵ = 6 – 2 – 18 = –14. Ч...