Условие:
Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции:
y
=
2
−
5
√
x
в точке с абсциссой
x
0
=
16
Выберите ответ:
y
=
10
−
5
x
8
y
=
5
x
8
−
28
y
=
−
5
x
8
−
18
y
=
−
5
x
8
−
8
y
=
−
5
x
8
−
28
Решение:
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = 2 - 5\sqrt{x} \) в точке с абсциссой \( x_0 = 16 \)...
Подставим \( x = 16 \) в функцию: \[ y(16) = 2 - 5\sqrt{16} \] Поскольку \( \sqrt{16} = 4 \), получаем: \[ y(16) = 2 - 5 \cdot 4 = 2 - 20 = -18 \] Таким образом, точка касания имеет координаты \( (16, -18) \). Найдем производную функции \( y = 2 - 5\sqrt{x} \): \[ y = -5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{5}{2\sqrt{x}} \] Подставим \( x = 16 \) в производную: \[ y(16) = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8} \] Уравнение касательной можно записать в виде: \[ y - y0) \] где \( m \) — угловой коэффициент (производная в точке касания), \( (x0) \) — координаты точки касания. Подставим известные значения: \[ y - (-18) = -\frac{5}{8}(x - 16) \] Упростим уравнение: \[ y + 18 = -\frac{5}{8}x + 10 \] Переносим 18 в правую часть: \[ y = -\frac{5}{8}x + 10 - 18 \] \[ y = -\frac{5}{8}x - 8 \] Сравниваем полученное уравнение с предложенными вариантами. Мы получили: \[ y = -\frac{5}{8}x - 8 \] Таким образом, правильный ответ: \[ y = -5x/8 - 8 \] Это соответствует варианту: .