Для нахождения области сходимости степенного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{3n+1}$ воспользуемся радиусом сходимости.

1. Определим общий член ряда: $a_n = \frac{(x+2)^{n}}{3n+1}$.

2. Применим критерий Коши для нахождения радиуса сходимости. Для этого найдем предел: $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$.

3. Подставим $a_n$: $\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{|(x+2)^{n}|}{3n+1}} = \frac{|x+2|}{\sqrt[n]{3n+1}}$.

4. Заметим, что $\sqrt[n]{3n+1}$ стремится к 1 при $n \to \infty$. Таким образом, мы имеем: $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |x+2|$...