Суммируема ли функция? В случае суммируемости вычислить интеграл Лебега от функции на заданном множестве. .

Чтобы определить, суммируема ли функция $f(x)$ на множестве $[0, 3]$, и вычислить интеграл Лебега, начнем с анализа функции.

1. Определение функции: Функция $f(x)$ задана следующим образом:

   • $f(x) = x^3$ для $x \in [0, 3] \setminus \mathbb{Q}$ (то есть для иррациональных $x$),
   • $f(x) = \cos x$ для $x \in [0, 3] \cap \mathbb{Q}$ (то есть для рациональных $x$).

2. Свойства функций:

   • Функция $x^3$ является непрерывной и, следовательно, интегрируемой на отрезке $[0, 3]$.
   • Функция $\cos x$ также является непрерывной и инте...