Трехзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное − целое число. а) Может ли получиться 13? б) Может ли получиться 6?

Чтобы решить задачу, давайте разберем каждую часть отдельно.

а) Может ли получиться 13?

1. Определим тре...: Пусть трехзначное число обозначается как \( xyz \), где \( x \), \( y \), \( z \) — его цифры. Тогда это число можно записать как \( 100x + 10y + z \). 2. : Сумма цифр этого числа равна \( S = x + y + z \). 3. : По условию задачи, число делится на сумму его цифр, то есть: \[ \frac{100x + 10y + z}{x + y + z} = 13 \] Это означает, что: \[ 100x + 10y + z = 13(x + y + z) \] 4. : \[ 100x + 10y + z = 13x + 13y + 13z \] \[ 100x + 10y + z - 13x - 13y - 13z = 0 \] \[ (100 - 13)x + (10 - 13)y + (1 - 13)z = 0 \] \[ 87x - 3y - 12z = 0 \] 5. : Из этого уравнения можно выразить \( y \) через \( x \) и \( z \): \[ 3y = 87x - 12z \] \[ y = 29x - 4z \] 6. : Поскольку \( x \), \( y \), \( z \) — это цифры (от 0 до 9), подберем значения для \( x \) и \( z \): - Если \( x = 1 \), то \( y = 29 \cdot 1 - 4z \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = 29 \) (недопустимо). - Если \( x = 2 \), то \( y = 29 \cdot 2 - 4z \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = 58 \) (недопустимо). - Если \( x = 3 \), то \( y = 29 \cdot 3 - 4z \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = 87 \) (недопустимо). - Если \( x = 4 \), то \( y = 29 \cdot 4 - 4z \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = 116 \) (недопустимо). - Если \( x = 5 \), то \( y = 29 \cdot 5 - 4z \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = 145 \) (недопустимо). - И так далее. Таким образом, для всех значений \( x \) от 1 до 9 и \( z \) от 0 до 9, \( y \) не может оставаться в пределах от 0 до 9. : Нет, не может получиться 13. 1. : Теперь проверим, может ли получиться 6: \[ \frac{100x + 10y + z}{x + y + z} = 6 \] Это означает, что: \[ 100x + 10y + z = 6(x + y + z) \] 2. : \[ 100x + 10y + z = 6x + 6y + 6z \] \[ 100x + 10y + z - 6x - 6y - 6z = 0 \] \[ (100 - 6)x + (10 - 6)y + (1 - 6)z = 0 \] \[ 94x + 4y - 5z = 0 \] 3. : Из этого уравнения можно выразить \( y \) через \( x \) и \( z \): \[ 4y = 5z - 94x \] \[ y = \frac{5z - 94x}{4} \] 4. : Подберем значения для \( x \) и \( z \): - Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{5z - 94}{4} \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = -23.5 \) (недопустимо). - Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{5z - 188}{4} \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = -47 \) (недопустимо). - Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{5z - 282}{4} \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = -69.5 \) (недопустимо). - Если \( x = 4 \), то \( y = \frac{5z - 376}{4} \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = -92 \) (недопустимо). - Если \( x = 5 \), то \( y = \frac{5z - 470}{4} \). Для \( z = 0 \) получаем \( y = -114.5 \) (недопустимо). - И так далее. Таким образом, для всех значений \( x \) от 1 до 9 и \( z \) от 0 до 9, \( y \) не может оставаться в пределах от 0 до 9. : Нет, не может получиться 6.