Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости. [ egin{array}{ll} sum_{n=1}^{infty} rac{(-1)^{n-1}}{ln (n+1)} & ext { Выберите... } \ sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n} cdot n & ext { Выберите... } \ sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}

18 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

Установите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln (n+1)} & \text { Выберите... } \\
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot n & \text { Выберите... } \\
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2}} & \text { Выберите... }
\end{array}
\]

Решение:

Рассмотрим каждую сумму по отдельности: 1. Ряд: ∑ₙ₌₁∞ (-1)^(n-1) / ln(n + 1) Обозначим aₙ = 1/ln(n + 1). Заметим, что ln(n + 1) — монотонно возрастающая функция, следовательно, aₙ монотонно убывает, а также limₙ→∞ aₙ = 0. По признаку Лейбница (альтернирующий знак и выполнены условия уменьшения и стремления к нулю) ряд сходится. Однако рассмотрим его абсолютную сходимость: Абсолютный ряд ∑ₙ₌₁∞ ...