В кольце классов вычетов найдите сумму, произведение и обратные (если они существуют) для данных классов: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ;

В кольце $\mathbb{Z} / n$, операции сложения и умножения выполняются по модулю $n$. Обратный элемент $\bar{a}^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель $\text{НОД}(a, n) = 1$.

В нашем случае $n = 91$. Разложим $91$ на простые множители: $91 = 7 \times 13$.

Для того чтобы найти обратный элемент $\bar{a}^{-1}$ по модулю $91$, нам нужно, чтобы $\text{НОД}(a, 91) = 1$.

Общий подход к нахождению обратного элемента

Если $\text{НОД}(a, 91) = 1$, мы используем расширенный алгоритм Евклида, чтобы найти целые числа $x$ и $y$ такие, что: