Задание 18 В конечной последовательности, состоящей из натуральных чисел, больше одного числа. Каждый следующий член этой последовательности отличается от предыдущего либо на 10, либо в 13 раз. Сумма всех членов последовательности равна 115. Какое

Чтобы решить задачу, давайте обозначим члены последовательности как \( a1, a2, a3, \ldots, an \), где \( a_1 \) — первый член, а \( n \) — количество членов последовательности. Каждый следующий член может быть получен из предыдущего либо до...

Пусть \( a_1 = x \). Тогда: - Если мы добавляем 10, следующий член будет \( x + 10 \). - Если мы умножаем на 13, следующий член будет \( 13x \). Если мы будем использовать только добавление 10, то последовательность будет выглядеть так: \[ x, x + 10, x + 20, \ldots, x + 10(k-1) \] где \( k \) — количество членов, полученных путем добавления 10. Сумма таких членов: \[ S_k = kx + 10 \cdot \frac{(k-1)k}{2} \] Если мы будем использовать умножение на 13, то последовательность будет выглядеть так: \[ x, 13x, 13^2x, \ldots, 13^{m-1}x \] где \( m \) — количество членов, полученных путем умножения на 13. Сумма таких членов: \[ S_m = x(1 + 13 + 13^2 + \ldots + 13^{m-1}) = x \cdot \frac{13^m - 1}{12} \] Чтобы минимизировать количество членов, мы можем комбинировать оба метода. Например, начнем с \( x \), затем умножим на 13, а затем добавим 10 несколько раз. Пробуем разные значения \( x \) и количество операций, чтобы получить сумму 115. 1. Пусть \( x = 1 \): - \( 1, 13, 23 \) (1 + 10) - Сумма: \( 1 + 13 + 23 = 37 \) (недостаточно) 2. Пусть \( x = 2 \): - \( 2, 26, 36 \) (2 + 10) - Сумма: \( 2 + 26 + 36 = 64 \) (недостаточно) 3. Пусть \( x = 3 \): - \( 3, 39, 49 \) (3 + 10) - Сумма: \( 3 + 39 + 49 = 91 \) (недостаточно) 4. Пусть \( x = 4 \): - \( 4, 52, 62 \) (4 + 10) - Сумма: \( 4 + 52 + 62 = 118 \) (перебор) 5. Пусть \( x = 5 \): - \( 5, 65, 75 \) (5 + 10) - Сумма: \( 5 + 65 + 75 = 145 \) (перебор) 6. Пусть \( x = 6 \): - \( 6, 78, 88 \) (6 + 10) - Сумма: \( 6 + 78 + 88 = 172 \) (перебор) 7. Пусть \( x = 7 \): - \( 7, 91, 101 \) (7 + 10) - Сумма: \( 7 + 91 + 101 = 199 \) (перебор) 8. Пусть \( x = 8 \): - \( 8, 104, 114 \) (8 + 10) - Сумма: \( 8 + 104 + 114 = 226 \) (перебор) После проб и ошибок, мы можем заметить, что если мы начнем с 1 и будем использовать 13, а затем добавлять 10, мы можем достичь 115 быстрее. В итоге, мы можем получить последовательность, которая дает сумму 115 с минимальным количеством членов. Например: - \( 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61 \) (добавляем 10) - Сумма: \( 1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 115 \) Таким образом, наименьшее количество членов в последовательности равно 7. Ответ: .