В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см , все боковые рёбра пирамиды с плоскостью основания образуют углы 45 градусов. Вычисли объём пирамиды.

Чтобы вычислить объём пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высо...

Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] где \( a \) и \( b \) — длины катетов. Подставим наши значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \, \text{см} \times 15 \, \text{см} = \frac{1}{2} \times 120 \, \text{см}^2 = 60 \, \text{см}^2 \] Все боковые рёбра пирамиды образуют угол 45 градусов с плоскостью основания. Это означает, что высота пирамиды равна длине бокового ребра, так как при угле 45 градусов высота и проекция на основание равны. Сначала найдём длину гипотенузы (бокового ребра) с помощью теоремы Пифагора. Гипотенуза \( c \) треугольника с катетами 8 см и 15 см вычисляется по формуле: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим значения: \[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, \text{см} \] Теперь, поскольку угол между боковым ребром и основанием равен 45 градусам, высота \( h \) пирамиды равна длине бокового ребра, то есть: \[ h = 17 \, \text{см} \] Объём пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота. Подставим наши значения: \[ V = \frac{1}{3} \times 60 \, \text{см}^2 \times 17 \, \text{см} = \frac{1}{3} \times 1020 \, \text{см}^3 = 340 \, \text{см}^3 \] Объём пирамиды равен \( 340 \, \text{см}^3 \).