В последовательности для выполнено . При этом выбрано так, что эта последовательность строго возрастает. Чему равно ?

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

В последовательности для выполнено . При этом выбрано так, что эта последовательность строго возрастает. Чему равно ?

Условие:

В последовательности $\left\{a_{n}\right\}$ для $n \geq 0$ выполнено $a_{n+1}=-3 a_{n}+2^{n}$ . При этом $a_{0}$ выбрано так, что эта последовательность строго возрастает. Чему равно $a_{1}$ ?

Решение:

Рассмотрим рекуррентное соотношение aₙ₊₁ = –3·aₙ + 2ⁿ для n ≥ 0. Найдём общее решение разности, записав его как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения.

Однородное уравнение имеет вид aₙ₊₁ = –3·aₙ. Предположим, что решение имеет вид aₙ^(h) = C·rⁿ, где C — произвольная постоянная. Подставляем:
C·rⁿ⁺¹ = –3·C·rⁿ → r = –3.
Таким образом, общее решение однородного уравнения: aₙ^(h) = C·(–3)ⁿ.
Найдём частное решение неоднородного уравнения. Поскольку свободный член равен 2ⁿ, попробуем подобрать решение в виде aₙ^(p) = A·2ⁿ. Подст...