В правильной четырёхугольной призме A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ на ребре A A 1 AA 1 ​ отмечена точка K K , причём A K : K A 1 = 1 : 3. AK:KA 1 ​ =1:3. Через точки K K и B B проведена плоскость α α , параллельная прямой A C AC и

Для решения задачи, давайте разберем её по частям.

Часть а)

1. Определим координаты точек:
- Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(7, 0, 0) \), \( C(7, 7, 0) \), \( D(0, 7, 0) \) — это нижняя грань призмы.
- Соответственно, верхняя грань будет: \( A1(0, 0, 12) \), \( B1(7, 0, 12) \), \( C1(7, 7, 12) \), \( D1(0, 7, 12) \).

2. Найдем координаты точки \( K \):
- Поскольку \( AK:KA1 = 1:3 \), то \( K \) дели...1 \) в отношении \( 1:3 \). - Длина отрезка \( AA_1 = 12 \). - Таким образом, \( AK = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \) и \( KA_1 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9 \). - Координаты точки \( K \) будут \( K(0, 0, 3) \). 3. : - Плоскость проходит через точки \( K(0, 0, 3) \) и \( B(7, 0, 0) \). - Вектор \( \overrightarrow{KB} = (7 - 0, 0 - 0, 0 - 3) = (7, 0, -3) \). - Плоскость \( \alpha \) должна быть параллельна прямой \( AC \). Вектор \( \overrightarrow{AC} = (7 - 0, 7 - 0, 0 - 0) = (7, 7, 0) \). - Вектор нормали к плоскости \( \alpha \) можно найти как векторное произведение \( \overrightarrow{KB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). 4. : \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{KB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\ 7 0 -3 \\ 7 7 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 7) - \mathbf{j}(7 \cdot 0 - (-3) \cdot 7) + \mathbf{k}(7 \cdot 7 - 0 \cdot 7) \] \[ = 21\mathbf{i} + 21\mathbf{j} + 49\mathbf{k} \] 5. : - Уравнение плоскости имеет вид \( 21(x - 0) + 21(y - 0) + 49(z - 3) = 0 \). - Упрощая, получаем \( 21x + 21y + 49z - 147 = 0 \). 6. : - Ребро \( D D1(0, 7, 12) \). - Подставим \( x = 0 \) и \( y = 7 \) в уравнение плоскости: \[ 21(0) + 21(7) + 49z - 147 = 0 \implies 147 + 49z - 147 = 0 \implies 49z = 0 \implies z = 0 \] - Таким образом, точка \( M(0, 7, 6) \) — это середина отрезка \( D D_1 \). 1. : - Плоскость \( \alpha \) пересекает ребра \( AB \), \( BC \), \( CD \) и \( DA \). - Для нахождения точек пересечения, подставим уравнение плоскости в уравнения ребер. 2. : - Ребро \( AB \) имеет уравнение \( z = 0 \). - Подставляем в уравнение плоскости: \[ 21x + 21(0) + 49(0) - 147 = 0 \implies 21x = 147 \implies x = 7 \implies B(7, 0, 0) \] 3. : - Ребро \( BC \) имеет уравнение \( x = 7 \). - Подставляем в уравнение плоскости: \[ 21(7) + 21y + 49(0) - 147 = 0 \implies 147 + 21y - 147 = 0 \implies y = 0 \implies C(7, 7, 0) \] 4. : - Ребро \( CD \) имеет уравнение \( y = 7 \). - Подставляем в уравнение плоскости: \[ 21x + 21(7) + 49(0) - 147 = 0 \implies 21x + 147 - 147 = 0 \implies x = 0 \implies D(0, 7, 0) \] 5. : - Ребро \( DA \) имеет уравнение \( x = 0 \). - Подставляем в уравнение плоскости: \[ 21(0) + 21y + 49(0) - 147 = 0 \implies 21y - 147 = 0 \implies y = 7 \implies A(0, 0, 0) \] 6. : - Получаем точки сечения: \( K(0, 0, 3) \), \( B(7, 0, 0) \), \( C(7, 7, 0) \), \( D(0, 7, 0) \). 7. : - Площадь сечения можно найти как площадь трапеции \( KBCD \). - Площадь трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (b2) \cdot h \] где \( b2 = BD = 7 \), \( h = 3 \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot (7 + 7) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 3 = 21 \] Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью \( \alpha \) равна \( 21 \) квадратных единиц.