В правильной четырёхугольной призме A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ на ребре A A 1 AA 1 ​ отмечена точка K K , причём A K : K A 1 = 1 : 3. AK:KA 1 ​ =1:3. Через точки K K и B B проведена плоскость α α , параллельная прямой A C AC и

Для решения задачи, давайте разберем её по частям.

Часть а)

1. Определим координаты точек:
- Пусть $A(0, 0, 0)$, $B(7, 0, 0)$, $C(7, 7, 0)$, $D(0, 7, 0)$ — это нижняя грань призмы.
- Соответственно, верхняя грань будет: $A1(0, 0, 12)$, $B1(7, 0, 12)$, $C1(7, 7, 12)$, $D1(0, 7, 12)$.

2. Найдем координаты точки $K$:
- Поскольку $AK:KA1 = 1:3$, то $K$ дели...1$ в отношении $1:3$. - Длина отрезка $AA_1 = 12$. - Таким образом, $AK = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ и $KA_1 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$. - Координаты точки $K$ будут $K(0, 0, 3)$.

3. :

   • Плоскость проходит через точки $K(0, 0, 3)$ и $B(7, 0, 0)$.
   • Вектор $\overrightarrow{KB} = (7 - 0, 0 - 0, 0 - 3) = (7, 0, -3)$.
   • Плоскость $\alpha$ должна быть параллельна прямой $AC$. Вектор $\overrightarrow{AC} = (7 - 0, 7 - 0, 0 - 0) = (7, 7, 0)$.
   • Вектор нормали к плоскости $\alpha$ можно найти как векторное произведение $\overrightarrow{KB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

4. :

   $$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{KB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\ 7 0 -3 \\ 7 7 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 7) - \mathbf{j}(7 \cdot 0 - (-3) \cdot 7) + \mathbf{k}(7 \cdot 7 - 0 \cdot 7)$$
   $$= 21\mathbf{i} + 21\mathbf{j} + 49\mathbf{k}$$

5. :

   • Уравнение плоскости имеет вид $21(x - 0) + 21(y - 0) + 49(z - 3) = 0$.
   • Упрощая, получаем $21x + 21y + 49z - 147 = 0$.

6. :

   • Ребро $D D1(0, 7, 12)$.
   • Подставим $x = 0$ и $y = 7$ в уравнение плоскости:
     $$21(0) + 21(7) + 49z - 147 = 0 \implies 147 + 49z - 147 = 0 \implies 49z = 0 \implies z = 0$$
   • Таким образом, точка $M(0, 7, 6)$ — это середина отрезка $D D_1$.

7. :

   • Плоскость $\alpha$ пересекает ребра $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.
   • Для нахождения точек пересечения, подставим уравнение плоскости в уравнения ребер.

8. :

   • Ребро $AB$ имеет уравнение $z = 0$.
   • Подставляем в уравнение плоскости:
     $$21x + 21(0) + 49(0) - 147 = 0 \implies 21x = 147 \implies x = 7 \implies B(7, 0, 0)$$

9. :

   • Ребро $BC$ имеет уравнение $x = 7$.
   • Подставляем в уравнение плоскости:
     $$21(7) + 21y + 49(0) - 147 = 0 \implies 147 + 21y - 147 = 0 \implies y = 0 \implies C(7, 7, 0)$$

10. :

    • Ребро $CD$ имеет уравнение $y = 7$.
    • Подставляем в уравнение плоскости:
      $$21x + 21(7) + 49(0) - 147 = 0 \implies 21x + 147 - 147 = 0 \implies x = 0 \implies D(0, 7, 0)$$

11. :

    • Ребро $DA$ имеет уравнение $x = 0$.
    • Подставляем в уравнение плоскости:
      $$21(0) + 21y + 49(0) - 147 = 0 \implies 21y - 147 = 0 \implies y = 7 \implies A(0, 0, 0)$$

12. :

    • Получаем точки сечения: $K(0, 0, 3)$, $B(7, 0, 0)$, $C(7, 7, 0)$, $D(0, 7, 0)$.

13. :

    • Площадь сечения можно найти как площадь трапеции $KBCD$.
    • Площадь трапеции:
      $$S = \frac{1}{2} \cdot (b2) \cdot h$$
      где $b2 = BD = 7$, $h = 3$.
      $$S = \frac{1}{2} \cdot (7 + 7) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 3 = 21$$

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $21$ квадратных единиц.