22.5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны ос-нования равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 22.7). Найдите угол между векторами: а) SA и SD; б) ЅА и ВС. Решая без системы координат и используя скалярное произведение

Для решения задачи о нахождении углов между векторами в правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, воспользуемся свойствами векторов и скаля...

1. : - Вектор SA направлен от вершины S к вершине A. - Вектор SD направлен от вершины S к вершине D. 2. : - Вектор SA направлен от вершины S к вершине A. - Вектор BC направлен от вершины B к вершине C. 1. : - Длина бокового ребра (SA и SD) равна 2. - Длина основания (AB, BC и т.д.) равна 1. 2. : - В основании шестиугольника стороны равны 1, следовательно, длина вектора BC равна 1. Для нахождения угла между векторами воспользуемся формулой скалярного произведения: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). 1. : - Векторы SA и SD образуют угол 120° в основании (так как шестиугольник правильный). - Скалярное произведение можно выразить как: \[ SA \cdot SD = |SA| \cdot |SD| \cdot \cos(120°) \] - Подставляем значения: \[ SA \cdot SD = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \] 2. : - Теперь можем найти угол: \[ \cos(\theta) = \frac{SA \cdot SD}{|SA| \cdot |SD|} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \] - Таким образом, \(\theta = 120°\). 1. : - Векторы SA и BC образуют угол 90° (так как SA идет вверх, а BC — по основанию). - Скалярное произведение: \[ SA \cdot BC = |SA| \cdot |BC| \cdot \cos(90°) = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \] 2. : - Поскольку скалярное произведение равно нулю, это означает, что угол между векторами SA и BC равен 90°. а) Угол между векторами SA и SD равен 120°. б) Угол между векторами SA и BC равен 90°.