7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В, АВ = 8, AC = 15. ВК – биссектриса. Найдите АК. Найдите радиусы вписанной и описанной окружность в треугольнике АВС. (3 балла)

Для решения задачи начнем с нахождения длины стороны \( BC \) в прямоугольном треугольнике \( ABC ...

По теореме Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 15^2 = 8^2 + BC^2 \] Это дает: \[ 225 = 64 + BC^2 \] Теперь вычтем 64 из обеих сторон: \[ BC^2 = 225 - 64 = 161 \] Теперь найдем \( BC \): \[ BC = \sqrt{161} \] Биссектрису \( BK \) можно найти, используя формулу для отрезков, на которые биссектрисы делят противоположную сторону: \[ \frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{AK}{KC} = \frac{8}{\sqrt{161}} \] Обозначим \( AK = x \) и \( KC = y \). Тогда: \[ \frac{x}{y} = \frac{8}{\sqrt{161}} \implies x = \frac{8}{\sqrt{161}} y \] Также знаем, что: \[ x + y = AC = 15 \] Подставим \( y \) из первого уравнения во второе: \[ x + \frac{\sqrt{161}}{8} x = 15 \] Объединим: \[ x \left(1 + \frac{\sqrt{161}}{8}\right) = 15 \] Теперь выразим \( x \): \[ x = \frac{15}{1 + \frac{\sqrt{161}}{8}} = \frac{15 \cdot 8}{8 + \sqrt{161}} = \frac{120}{8 + \sqrt{161}} \] Теперь найдем \( AK \): \[ AK = x = \frac{120}{8 + \sqrt{161}} \] Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ r = \frac{AB + BC - AC}{2} \] Подставим известные значения: \[ r = \frac{8 + \sqrt{161} - 15}{2} = \frac{\sqrt{161} - 7}{2} \] Формула для радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ R = \frac{AC}{2} \] Подставим известные значения: \[ R = \frac{15}{2} = 7.5 \] 1. Длина отрезка \( AK \) равна \( \frac{120}{8 + \sqrt{161}} \). 2. Радиус вписанной окружности \( r = \frac{\sqrt{161} - 7}{2} \). 3. Радиус описанной окружности \( R = 7.5 \).