В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26см. r=4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5см и 12см

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность, мы воспользуемся следующими свойствами: 1. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех ...

1. Обозначим гипотенузу \( c = 26 \) см, радиус окружности \( r = 4 \) см. 2. Площадь \( S \) треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр: \[ S = r \cdot p \] 3. Полупериметр \( p \) равен \( \frac{P}{2} \), где \( P \) — периметр треугольника. Таким образом, \[ S = r \cdot \frac{P}{2} \] 4. Площадь \( S \) также можно выразить через катеты \( a \) и \( b \): \[ S = \frac{1}{2}ab \] 5. Известно, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \( c = 26 \): \[ a^2 + b^2 = 26^2 = 676 \] 6. Теперь выразим \( P \) через \( a \) и \( b \): \[ P = a + b + c = a + b + 26 \] 7. Подставим \( P \) в формулу для площади: \[ S = 4 \cdot \frac{a + b + 26}{2} = 2(a + b + 26) \] 8. Теперь у нас есть две формулы для площади: \[ \frac{1}{2}ab = 2(a + b + 26) \] Умножим обе стороны на 2: \[ ab = 4(a + b + 26) \] 9. Теперь выразим \( b \) через \( a \): \[ b = \sqrt{676 - a^2} \] 10. Подставим \( b \) в уравнение: \[ a \sqrt{676 - a^2} = 4(a + \sqrt{676 - a^2} + 26) \] Это уравнение можно решить численно или графически, но проще будет использовать известные значения для \( a \) и \( b \). 11. После подбора значений, например, \( a = 10 \) см и \( b = 24 \) см, мы можем найти периметр: \[ P = 10 + 24 + 26 = 60 \text{ см} \] 1. Обозначим отрезки, на которые делится гипотенуза: \( x = 5 \) см и \( y = 12 \) см. 2. Тогда гипотенуза \( c = x + y = 5 + 12 = 17 \) см. 3. Катеты \( a \) и \( b \) можно выразить через отрезки: \[ a = x + r = 5 + 4 = 9 \text{ см} \] \[ b = y + r = 12 + 4 = 16 \text{ см} \] 4. Теперь найдем периметр: \[ P = a + b + c = 9 + 16 + 17 = 42 \text{ см} \] а) Периметр треугольника равен 60 см. б) Периметр треугольника равен 42 см.