В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26см. r=4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5см и 12см

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность, мы воспользуемся следующими свойствами:

1. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех ...

2. Обозначим гипотенузу $c = 26$ см, радиус окружности $r = 4$ см.

3. Площадь $S$ треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:

   $$S = r \cdot p$$

4. Полупериметр $p$ равен $\frac{P}{2}$, где $P$ — периметр треугольника. Таким образом,

   $$S = r \cdot \frac{P}{2}$$

5. Площадь $S$ также можно выразить через катеты $a$ и $b$:

   $$S = \frac{1}{2}ab$$

6. Известно, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$
   Подставим $c = 26$:
   $$a^2 + b^2 = 26^2 = 676$$

7. Теперь выразим $P$ через $a$ и $b$:

   $$P = a + b + c = a + b + 26$$

8. Подставим $P$ в формулу для площади:

   $$S = 4 \cdot \frac{a + b + 26}{2} = 2(a + b + 26)$$

9. Теперь у нас есть две формулы для площади:

   $$\frac{1}{2}ab = 2(a + b + 26)$$
   Умножим обе стороны на 2:
   $$ab = 4(a + b + 26)$$

10. Теперь выразим $b$ через $a$:

    $$b = \sqrt{676 - a^2}$$

11. Подставим $b$ в уравнение:

    $$a \sqrt{676 - a^2} = 4(a + \sqrt{676 - a^2} + 26)$$
    Это уравнение можно решить численно или графически, но проще будет использовать известные значения для $a$ и $b$.

12. После подбора значений, например, $a = 10$ см и $b = 24$ см, мы можем найти периметр:

    $$P = 10 + 24 + 26 = 60 \text{ см}$$

13. Обозначим отрезки, на которые делится гипотенуза: $x = 5$ см и $y = 12$ см.

14. Тогда гипотенуза $c = x + y = 5 + 12 = 17$ см.

15. Катеты $a$ и $b$ можно выразить через отрезки:

    $$a = x + r = 5 + 4 = 9 \text{ см}$$
    $$b = y + r = 12 + 4 = 16 \text{ см}$$

16. Теперь найдем периметр:

    $$P = a + b + c = 9 + 16 + 17 = 42 \text{ см}$$

а) Периметр треугольника равен 60 см.
б) Периметр треугольника равен 42 см.