В следующих примерах проверить, являются ли системы векторов и базисами в линейном пространстве . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. По известным координатам векторов в одном базисе найти их координаты в другом базисе: ) )

Часть a)

1. Проверка линейной независимости векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$: Для проверки линейной независимости векторов, составим матрицу $E$ из векторов $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и найдем её определитель.

   $$E = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$

   Вычислим определитель:

   $$\text{det}(E) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$$
   $$= 2(1 \cdot -2 - (-1) \cdot 1) - 3((-1) \cdot -2 - (-1) \cdot -1) - 2((-1) \cdot 1 - (-1) \cdot 1)$$