1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Векторы и не коллинеарны. Найдите числа и , удовлетворя...
Разбор задачи

Векторы и не коллинеарны. Найдите числа и , удовлетворяющие равенству: а) ; б) ; в) ; г) .

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Векторы и не коллинеарны. Найдите числа и , удовлетворяющие равенству: а) ; б) ; в) ; г) .

Условие:

Векторы a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b} не коллинеарны. Найдите числа xx и yy, удовлетворяющие равенству: а) 3a⃗−xb⃗=ya⃗+b⃗3 \vec{a}-x \vec{b}=y \vec{a}+\vec{b}; б) 4a⃗−xa⃗+5b⃗+yb⃗=04 \vec{a}-x \vec{a}+5 \vec{b}+y \vec{b}=0; в) xa⃗+3b⃗−yb⃗=0x \vec{a}+3 \vec{b}-y \vec{b}=0; г) a⃗+b⃗−3ya⃗+xb⃗=0→\vec{a}+\vec{b}-3 y \vec{a}+x \vec{b}=\overrightarrow{0}.

Решение:

Поскольку векторы a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b} не коллинеарны, они линейно независимы. Это значит, что равенство

αa⃗+βb⃗=0⃗ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} = \vec{0}
выполняется только при (\alpha = 0) и (\beta = 0).
Мы будем использовать это свойство: если два выражения с (\vec{a}) и (\vec{b}) равны, то коэффициенты при (\vec{a}) должны быть равны и коэффициенты при (\vec{b}) должны быть равны.

а) 3a⃗−xb⃗=ya⃗+b⃗3 \vec{a} - x \vec{b} = y \vec{a} + \vec{b}

Переносим всё в одну сторону:

3a⃗−xb⃗−ya⃗−b⃗=0⃗ 3\vec{a} - x\vec{b} - y\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}
(3−y)a⃗+(−x−1)b⃗=0⃗ (3 - y) \vec{a} + (-x - 1) \vec{b} = \vec{0}

Приравниваем коэффициенты к нулю:

3−y=0⇒y=3 3 - y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство неколлинеарных векторов является ключевым для решения уравнений вида \( \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} = \vec{0} \)?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Больше о Кэмпе

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я