Условие:
Задача6. Выбрать для данной области D повторные интегралы
в декартовых \( \int d x \int f(x, y) d y \) и \( \int d y \int f(x, y) d x \)
и полярной \( \int d \phi \int f(\phi, \rho) \rho d \rho \)
системах координат
Выберите один или несколько ответов:
a. \( \int{-1}^{1} d x \int{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y+\int{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} d x \int{\frac{x}{\sqrt{3}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y \)
b. \( \int{0}^{0,5} d y \int{-\sqrt{-2 y-y^{2}}}^{\sqrt{3} y} f(x, y) d x+\int{0,5}^{2} d y \int{-\sqrt{-2 y-y^{2}}}^{\sqrt{-2 y-y^{2}}} f(x, y) d x \)
c. \( \int{0}^{0,5} d y \int{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{3} y} f(x, y) d x+\int{0,5}^{1} d y \int{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) d x \)
d. \( \int{\frac{\pi}{6}}^{\pi} d \phi \int{0}^{2 \sin \phi} f(\rho, \phi) \rho \cdot d \rho \)
e. \( \int{-1}^{0} d x \int{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y+\int{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} d x \int{\frac{x}{\sqrt{3}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y \)
f. \( \int{\frac{\pi}{4}}^{\pi} d \phi \int{0}^{2 \sin \phi} f(\rho, \phi) \rho \cdot d \rho \)
g. \( \int{\frac{\pi}{3}}^{\pi} d \phi \int{0}^{2 \sin \phi} f(\rho, \phi) \rho \cdot d \rho \)
h. \( \int{0}^{0,5} d y \int{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{3} y} f(x, y) d x+\int{0,5}^{2} d y \int{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) d x \)
i. \( \int{-1}^{0} d x \int{-1+\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y+\int{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} d x \int{\frac{x}{\sqrt{3}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y \)
Решение:
Мы покажем, что при заданном множестве D, которое получается как часть круга с уравнением x² + (y – 1)² ≤ 1 с дополнительным ограничением y ≥ x/√3 (то есть, ниже линии y = x/√3 точки не берём), имеют место следующие представления двойного интеграла. Ниже подробно разберём поиск корректных пределов интегрирования. ────────────────────────────── 1. Анализ области D Заметим, что уравнение круга x² + (y – 1)² = 1 можно записать в виде y = 1 ± √(1 – x²) (при |x| ≤ 1) или в виде x² = 2y – y², поскольку 1 – (y–1)² = 2y – y². Линия y = x/√3 соответствует углу φ = arctan(1/√3) = π/6...