Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями . Вычислить интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования.

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями . Вычислить интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования.

Условие:

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Вычислить двойной интеграл $\iint_{D}\left(x+y^{3}\right) d x d y$ по области $D$ , ограниченной линиями $x=1, x=2, y=0, y=2$ . Вычислить интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования.

Решение:

1. Дано

Нам необходимо вычислить двойной интеграл:

I = \iint_{D}\left(x+y^{3}\right) d x d y

Область интегрирования

D

задана границами:

1 \le x \le 2, \quad 0 \le y \le 2

Область

D

является прямоугольником.

2. Найти

Вычислить интеграл $I$ двумя способами, меняя порядок интегрирования, и убедиться, что результат равен 7.

3. Решение

Поскольку область $D$ является прямоугольной областью, пределы интегрирования постоянны, и порядок интегрирования не влияет на результат (согласно теореме Фубини).

Способ 1: Интегрирование сначала по $x$ , затем по $y$ ( $dx dy$ )

В этом...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой принцип позволяет менять порядок интегрирования в двойном интеграле, если область интегрирования является прямоугольной, а подынтегральная функция непрерывна?

Теорема Грина

Теорема Фубини

Формула Ньютона-Лейбница