Вычислить: а) дифференциал функции ; б) приближенное значение функции в точке , заменив приращение функции в точке ее дифференциалом: ) ; б) .

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

Условие:

Вычислить: а) дифференциал $d y$ функции $y=f(x)$ ; б) приближенное значение функции $y=f(x)$ в точке $x_{1}$ , заменив приращение функции в точке $x_{0}$ ее дифференциалом:\na) $f(x)=7^{\sin 13 x}$ ; б) $f(x)=\operatorname{arctg} x, x_{1}=1,03, x_{0}=1$ .

Решение:

Задача (а): Найти дифференциал функции
f(x) = 7^(sin(13x))

Шаг 1. Запишем функцию и обозначим:
u(x) = sin(13x), тогда f(x) = 7^(u(x)).

Шаг 2. Найдём производную f'(x) по правилу дифференцирования показательной функции с основанием, отличным от e. Формула:
если f(x) = a^(u(x)), то f'(x) = a^(u(x)) · ln(a) · u'(x).

Шаг 3. Вычислим u'(x). Функция u(x) = sin(13x) является составной функцией, где производная:
u'(x) = 13·cos(13x).

Шаг 4. Подставляем в формулу для f'(x): <...