Условие:
Задача 5
1 балл
Вычислить $\int_{\frac{5 \pi}{6}}^{\frac{2 \pi}{3}}(8 x+5) \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} d x$
Формат ответа: целое число или десятичная дробь (с точностью до тысячных)
Решение:
Мы хотим вычислить определённый интеграл
I = ∫ от x = 5π/6 до x = 2π/3 (8x + 5) · (sin x)/(cos³ x) dx.
Заметим, что производная функции 1/(2 cos²x) равна:
d/dx [1/(2 cos²x)] = (1/2) · (–2 cos⁻³x · (– sin x)) = sin x/(cos³ x).
Таким образом, наш интеграл можно переписать в виде
I = ∫ (8x + 5) d[1/(2 cos²x)].
Чтобы вычислить этот интеграл, используем метод интегрирования по частям. Выберем:
u = 8x + 5 ⇒ du = 8 dx, dv = d[1/(2 cos²x)] ⇒ v = 1/(2 cos²x).
Формула интегрирования по частям дает: ∫ u dv = u·v – ∫ v du.
Применим её к нашему интегралу (не забывая про пределы интег...